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Dans cette vidéo, Paul utilise un raisonnement par l'absurde pour démontrer que l'ensemble D, qui est défini comme l'ensemble des x y appartenant au plan tel que x² plus y² est inférieur au égal à 1, ne peut pas être écrit comme le produit cartésien de deux parties de R. Il commence par supposer l'inverse de ce qu'il veut prouver, c'est-à-dire qu'il existe une écriture telle que AB appartenant aux parties de R² et que D est le produit cartésien de A et B. Ensuite, il dessine les parties A et B de R et montre que le produit cartésien A fois B va tomber en dehors du cercle dans certains endroits. Pour prouver qu'un point est à la fois dans A fois B et n'est pas dans D, il utilise les points extrêmes 0, 1 et 1, 0. Il conclut qu'il y a une contradiction et que D ne peut pas être écrit comme un produit cartésien de deux parties de R.

Salut c'est Paul et on fait cette vidéo sur les ensembles et on va voir comment utiliser un raisonnement par l'absurde avec des ensembles. Pourquoi je dis qu'on va utiliser un raisonnement par l'absurde ici? Parce qu'on a un ensemble D qui est l'ensemble des x y appartenant au plan tel que x² plus y² est inférieur au égal à 1. On doit démontrer que D ne peut pas s'écrire comme le produit cartésien de deux parties de R. Ne peut pas s'écrire ça veut dire que il n'existe pas une écriture en produit cartésien ici comme ça. Donc il n'existe pas ça c'est difficile à manipuler ce genre de d'assertion logique. Il n'existe pas, c'est compliqué à exprimer et on n'en fait pas grand chose. C'est difficile d'en faire des choses et on se trompe facilement. Du coup c'est plus facile de manipuler l'assertion contraire donc il existe un quantificateur tout frais facile que vous savez très bien utiliser. Donc c'est pour ça qu'on va faire un zoom par l'absurde pour manipuler l'insertion contraire. Donc on suppose du coup l'inverse de ce qu'on veut qu'il existe bien une écriture telle que AB appartenant aux parties de R² telle que D est le produit cartésien de A et B. Donc on va faire un dessin et donc là en fait j'ai fait des hypothèses, un dessin un peu au brouillon. Déjà il faut bien remarquer que D c'est le disque de centre, donc c'est tout ça, c'est le disque de centre 0 et de rayon 1 ici. Parce que voilà si il y a une égalité là on tombe sur le cercle mais là on est inférieur ou égal donc on est dans le cercle, on est dans le disque. Et on se rend compte en fait bien que donc A ça va être sur les X parce que c'est le premier terme du produit cartésien et B ça va être sur les Y, donc X Y parce que c'est le deuxième terme du produit cartésien. Donc A et B du coup c'est des parties de R donc on peut les dessiner comme des ensembles de R comme ça là. Là je les ai dessiné comme des segments pourquoi? Parce qu'en fait on voit bien que là A, tous ces points là qui sont dans D, ils vont devoir être quand Y est égal à 0, là ils vont devoir être dans A. Donc ils sont dans D donc ils sont dans A parce que D est égal à A fois B, produit cartésien de A et B. Donc tout ce segment là en fait, on ne l'a pas prouvé encore mais une intuition un peu c'est que tout ça ça va être au moins égal à ça et ça va y ressembler. B pareil ici, verticalement. Et en fait on voit bien que le produit cartésien de A fois B là, ça va tomber en dehors du cercle dans certains endroits ici. Et donc il va falloir chercher ces endroits, ces points extrêmes ici là, pour prouver qu'un point est à la fois dans A fois B et il n'est pas dans D. Donc pour avoir une contradiction. Donc là on va chercher ces points ici extrêmes en utilisant les points 0, 1. Donc on voit que 0 carré plus 1 au carré est inférieur ou égal à 1. Donc on a bien 0, 1 qui vérifie les conditions pour appartenir à D et 1, 0 qui vérifie bien les conditions pour appartenir à D. Donc 0, 1 ici et 1, 0. Et après on va aller chercher ces points. Donc 0, 1 est inclus dans A et 0, 1 est inclus dans B. Donc les deux points. Et donc aussi il y a 1, 1 qui appartient à D parce que vu que 1 appartient à A et 1 appartient à B, comme D c'est le produit cartésien de 1 fois B, et bien c'est aussi 1, 1 appartient aussi à D. Or 1 au carré plus 1 au carré est strictement supérieur ou égal à 1. Donc on a bien une contradiction. On a un point qui est ici donc il peut pas appartenir... il appartient à D parce que on a supposé que D est égal à fois B, mais il peut pas appartenir à D parce qu'il ne vérifie pas la condition. Donc on a bien une contradiction. Et ainsi D ne peut pas s'écrire comme un produit cartésien de deux parties de R. Voilà c'est la fin de cet exercice et on se dit à la prochaine fois!

Produit cartésien

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