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Dans cette vidéo sur les fonctions à variable réelle, Paul explore l'injectivité, la surjectivité et la bijectivité. Il prend une fonction f définie par 2r dans R, avec f(x) = 2x/(1+x^2). Paul utilise le graphique de f pour montrer que f n'est pas injective car f(1.5) = 4.5 et f(2) = 4.5. Il calcule ensuite le delta de l'équation f(x) = 2 degré, ce qui montre que f n'est pas surjective non plus.Paul prouve ensuite que l'image de f est le segment [-1,1], ce qui montre que f est surjective lorsqu'elle est restreinte à cet intervalle. Enfin, il montre que la restriction de f à l'intervalle [-1,1] est bijective en trouvant des expressions pour la solution unique à l'équation g(x) = y.

Salut c'est Paul et aujourd'hui dans cette nouvelle vidéo où on va parler d'injectivité, surjectivité et bijectivité avec des fonctions, une fonction à variable réelle. Donc on prend la fonction f définie par 2r dans R définie par f de x égale 2x sur 1 plus x carré et on veut voir si elle est injective ou surjective voilà et après là déjà un indice pour c'est toujours sympa de savoir ce qu'on va démontrer, est-ce qu'on va montrer si elle est injective ou pas injective ou donc d'avoir une idée de ce qu'elle est avant de le prouver donc là on peut se trouver, la question 2 on veut vous montrer que f de R égale moins 1 donc déjà f de R n'est pas égale à R donc elle va pas être surjective et après on va montrer que la restriction g est une bijection donc c'est sûrement qu'elle n'est pas injective aussi si on doit la restreindre à moins 1 au départ ok donc on va montrer du coup qu'elle n'est pas injective mais pour ça il faut trouver un contre exemple donc f de 1,5 en fait est égale à 4,5 et f de 2 est égale à 4,5 donc f n'est pas injective voilà donc une façon de trouver ces nombres ici c'est de tracer le graph de f, de trouver quelques points et la croissance des croissances de f et de trouver une sorte de boss là et de trouver un des, une valeur pour lesquelles f, enfin une valeur qui a 2 réceptants par f donc lequel f est ça, voilà et de trouver, donc là 1,5 et 2 ça marche bien donc f n'est pas injective Donc on va montrer que f de x ici égale à 2 pour montrer qu'elle n'est pas surjective voilà donc comment j'ai trouvé égale à 2 là voilà on va montrer que ça n'a pas de solution réelle donc ça veut dire que f n'est pas surjective parce que tout réel n'a pas d'antécédent x ok pourquoi j'ai pris 2 ici parce que là on voit que l'image de f par r c'est, enfin l'image de r par f c'est moins 1,1 donc si on nous demande de montrer ça c'est que c'est vrai on ne sait pas encore mais on peut s'en inspirer pour montrer que en dehors de ça, ben les les réels n'ont pas d'antécédent donc on va montrer que ça n'a pas de solution donc f de x égale à 2 c'est équivalent à l'équation du second degré x carré moins x plus 1 égal à 0 on calcule le delta négatif donc on n'a pas de solution dans r donc f n'est pas surjective ok donc la question 3 on veut montrer que l'image de r de f par r c'est le segment moins 1,1 donc en fait on va trouver les y telles que f de x égale y est une solution ok donc f de x égale y c'est équivalent à l'équation ici y carré x carré moins 2x plus y égal à 0 l'équation en x et cette équation a des solutions réelles si et seulement si son déterminant ici est supérieur égal à 0 donc si et seulement si y appartient à moins 1,1 ainsi f de r égale et bien t'égale à Et bien égal à au segment moins 1,1 donc là on n'a raisonné pas équivalence donc on a c'est on n'a raisonné pas équivalence donc on a bien l'égalité Finalement on doit montrer que la restriction du coup g la restriction de f au départ moins 1,1 et à l'arrivée à moins 1,1 est une birection de moins 1,1 dans moins 1,1 Donc si on prend y du coup dans moins 1,1 privé de moins 1, privé de 1 et privé de 0 donc pourquoi je fais ça pourquoi je prive de moins 1,1 et de 0 en fait on va le voir plus tard au fur et à mesure donc si au départ vous vous prenez f dans moins 1,1 comme ça et que c'est comme ça que j'ai raisonné au départ j'ai pris f dans moins 1,1 fermé et j'ai commencé à faire des moissonnements mais je me suis rendu compte que les cas y qui est égal à moins 1,1 et 0 ils étaient gênants donc ça fait que trois cas à traiter après à part Donc on peut restreindre en fait on fait raisonnement on rend compte qu'ils sont gênants on change les leçons de départ pour les traiter plus tard Donc et on veut trouver la solution à l'équation g de x égale à y donc x tel que g de x égale à y et on veut prouver qu'elle est unique qu'elle existe et qu'elle est unique donc qu'elle existe c'est la surjectivité et qu'elle est unique c'est l'injectivité donc on a la bijectivité ok donc c'est équivalent à 2x plus 1 sur 1 plus x carré égal à y avec x dans moins 1,1 parce que on cherche x dans moins 1,1 on traduit ce que c'est on passe tout du même côté le déterminant de cette équation ici en x c'est 4 moins 4 y carré qu'on a calculé précédemment toujours il est supérieur à 0 parce que y est dans moins 1,1 donc c'est équivalent à x égale à 1 moins racine de 1 moins y carré sur y ou racine de 1 plus racine de 1 moins y carré sur y et x appartient toujours à moins 1,1 donc là il va sûrement avoir une des solutions qui n'est pas dans moins 1,1 donc c'est là que ça va être utile d'avoir une solution donc là aussi c'est pour ça que le cas y égal à 0 ça nous embête parce que sinon c'est pas une équation du second degré donc là vous voyez qu'on peut pas diviser par a donc c'est pour ça qu'on traite le cas y égal à 0 à part et ça va être plus facile de trouver la localisation de cette solution quand y est strictement compris entre moins 1,1 vous allez voir pourquoi donc si y est supérieur à 0 la solution avec le plus ici est strictement supérieur à 1 et sinon elle est strictement inférieure à 1, ça se vérifie très simplement donc cette solution ici là n'est pas valable donc on va vérifier si cette solution est bien dans moins 1,1 pour voir si elle est valable donc on la transforme ici dans une forme plus simple pour faire des inégalités donc on a que 1 est inférieur à 1 plus 1 donc la racine est positive donc on a bien 1 inférieur à 1 plus 1 du positif et ça nous sert à quoi? ça nous sert à savoir que que 1 sur 1 plus racine de 1 moins y carré est compris strictement entre 0 et inférieur ou égal à 1 donc ça veut dire qu'il est positif et inférieur ou égal à 1 or vu que y est strictement compris entre moins 1 et 1 cela donne cet enchaînement d'inégalités donc ici on transforme cette inégalité en la multipliant par 1 sur 1 plus racine de 1 moins y carré donc vu qu'il est positif ça ne change pas le sens des inégalités et on utilise aussi le fait que ce soit inférieur ou égal à 1 ici pour compléter ainsi on a bien la solution ici cette solution ici qui est bien compris entre moins 1 et 1 on a bien g de x égale à y qui est équivalent à x égale à y sur lana donc elle existe et elle est unique donc on a bien l'objectivité dans ce cas là donc là on doit traiter les cas y égale à 0 là c'est assez facile y égale à 1, x égale à 1 et y égale à moins 1, x égale à moins 1 donc à chaque fois l'unité de la solution, je vous laisse résoudre les équations, c'est immédiat ainsi on a bien quel que soit y dans moins 1, 1 il existe un unique x, donc il existe surjectivité un unique, injectivité, donc bijectivité tel que g de x égale à y, encore g est bijective donc c'est la fin de cet exercice et on se dit à la prochaine fois

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