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Dans cette vidéo, Paul parle de la manipulation d'images entre deux ensembles, E et F, et explique comment démontrer que A est inclus dans B en implique F de A inclus dans F de B. Il montre également que l'inclusion réciproque n'est pas toujours vraie. Ensuite, il démontre que F de A inter B est inclus dans F de A intersection F de B, mais que l'inclusion réciproque n'est pas toujours vraie. Enfin, il explique que l'image de l'union d'un ensemble est égale à l'union des images de cet ensemble, mais que cela n'est vrai que dans un sens pour l'intersection.

Salut c'est Paul et on se retrouve pour cette nouvelle vidéo sur les applications. On va voir un peu le lien entre applications et ensembles avec la manipulation d'images de cet ensemble. Donc on prend E et F deux ensembles et on prend une application de E dans F et on a A et B deux parties de E. Donc on va donc de l'ensemble de départ. Donc on doit démontrer que ici pour la fabrication que A est inclus dans B implique F de A implique dans F de B. Est-ce que la réciproque est vraie? On suppose que A est inclus dans B et maintenant on va essayer de prouver que F de A est inclus dans F de B. On prend Y dans F de A. Je conseille de nommer Y les images. Donc là c'est dans l'image de A. Y est dans l'image de A par F. Parce que F de X égale Y c'est bien pour se retrouver entre les images X, enfin les antécédents X et les images Y. C'est plus simple je trouve de s'y tenir. C'est plus clair dans la tête quand ce sera compliqué. Donc on prend Y dans F de A. Et bien en fait c'est quoi l'appartenance à F de A? C'est qu'il existe un X dans A tel que Y égale F de X. Donc il y a un antécédent, c'est appartenir à l'image de A. Donc X appartient à B parce que A est inclus dans B. Donc Y appartient à F de B par dévision de l'image de B. Ainsi on a bien l'implication. Pourquoi l'implication la réciproque est-elle vraie? En général quand on nous demande ça c'est qu'elle est fausse. Donc la réciproque n'est pas toujours vraie dans le cas général. On va prendre un exemple simple. On pose E égale l'ensemble 1, 2. Et F l'ensemble du singleton 1. Et on prend l'application qui va de E dans F qui associe 1 à 1 et 2 à 1. Pourquoi je fais ça? Parce que l'image du singleton 1 est inclue dans l'image du singleton 2. Elles sont égales. Donc entre autres il y a l'inclusion. Mais le singleton 1 n'est pas inclus dans le singleton 2. Donc F de A inclus dans F de B implique A inclus dans B. Donc la réciproque n'est pas toujours vraie en règle générale. Maintenant on va démontrer que F de A inter B inclut dans F de A intersection F de B. Donc l'inclusion réciproque est-elle vraie? Là on soupçonne que F est inclus dans l'image du singleton 1. Donc on va sûrement réutiliser de manière astucieuse la première question. Donc on a A inter B est inclus dans A. Donc d'après la question 1, F de A inter B est inclus dans A. De même comme A inter B est inclus dans B, d'après la question 1, F de A inter B est inclus dans F de B. Ainsi on a bien que A est inclus dans A F de A et F de B. Donc A est inclus dans F de A inter F de B. Donc on a bien l'inclusion qu'on cherchait. Pourquoi l'inclusion réciproque n'est-elle pas vraie? Là vous voyez qu'on a utilisé la question précédente. Vu que l'inclusion réciproque n'était pas vraie pour la question précédente, là ça ne va pas être vrai aussi. Enfin on s'en doute sûrement. Donc peut-être que le contre-exemple qu'on a utilisé va toujours marcher. Donc en le réutilisant, on a F de l'image du singleton 1 intersectée avec l'image du singleton 2. C'est bien le singleton 1. Ça c'est singleton 1, ça c'est le singleton 1. Parce que F de 1 est égal à 1, F de 2 est égal à 1. Or l'image de l'intersection des deux ensembles, c'est l'image de l'ensemble vide. Donc c'est l'ensemble vide. Donc 1 n'est pas inclus dans l'ensemble vide, évidemment. Ainsi l'inclusion réciproque est fausse en règle générale. Donc ça c'est bien de le savoir. Et le fait que l'inclusion soit fausse, c'est bien de le savoir aussi. Pareil pour A inclus dans B implique F de A inclus dans F de B. La question 3 démontrait que l'image de l'union, c'est l'union des images. Donc là on a bien l'égalité dans ce cas là. On a les inclusions dans les deux sens. On procède par double inclusion. Pour l'inclusion dans un sens, on va pouvoir utiliser les questions précédentes. On a A inclus dans A union B. Donc F de A est inclus dans F de A union B d'après la question 1. Et B est inclus dans A union B. Donc F de B est inclus dans A union B. Ainsi F de A union F de B est inclus dans F de A union B. Vu qu'ils sont tous les deux inclus, l'union est inclus aussi. On a l'inclusion dans ce sens là. On va pouvoir avoir l'inclusion dans l'autre sens avec la question 1. On va se débrouiller en repartant à la base. En prenant un élément particulier. Donc X appartient à l'image de A union B. Ça veut dire qu'il existe un Y tel qu'il appartient à A union B tel que Y est F de X. Donc si Y appartient à A, toujours Y est F de X appartient à l'image de A. Ainsi Y est F de X appartient à l'image de B. Ainsi Y appartient soit à l'image de A soit à l'image de B. Donc il appartient à l'union. D'où l'inclusion réciproque. Et on a bien l'égalité. Vous voyez que l'image de l'union c'est bien l'union des images. Mais pour l'intersection on a que dans un sens que c'est vrai. C'est bien à retenir. C'est deux choses très utiles à retrouver. C'est la fin de cet exercice. Et on se dit à la prochaine fois.

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