Home

MPSI/PCSI

Maths

Analyse

Applications & Relations

Le cours traite des notions d'injectivité, de surjectivité et de bijection dans les applications mathématiques. Il énonce quatre propriétés permettant de déterminer si une fonction est injective, surjective ou bijective, ou si aucun de ces termes ne s'applique. Pour résumer, l'injectivité signifie qu'un élément de l'ensemble d'arrivée admet au plus un antécédent, la surjectivité signifie que tout élément de l'ensemble d'arrivée a au moins un antécédent et la bijection combine ces deux propriétés en affirmant que chaque élément de l'ensemble d'arrivée a un unique antécédent. Les propriétés énoncées permettent également de déduire qu'une fonction peut être surjective mais pas injective, injective mais pas surjective, bijective ou ne répondre à aucune de ces catégories.

Salut c'est Paul, et on se retrouve pour cet exercice sur les applications et si elles sont injectives, bijectives ou surjectives. Voilà, on va voir comment manipuler ces notions. Donc on a une fonction de i dans j, i et j c'est des ensembles quelconques, déterminée à partir de ces quatre propriétés suivantes. Si on peut déduire f est injective, f est surjective, donc injective mais pas surjective, surjective mais pas injective, et f est bijective. Ou alors on ne peut rien dire, on ne nous apporte pas d'informations. Ou en tout cas on ne peut rien dire, on ne peut pas en déduire ça. Pour la première assertion, quelque soit y dans j, l'image réciproque du singleton y n'est pas vide. Ça veut dire quoi? Ça veut dire que les antécédents de y, enfin y a des antécédents, pour quelque soit y. Donc ça c'est la surjectivité. Pour tout y dans l'ensemble d'arrivée, y a des antécédents. Donc l'image réciproque de y n'est pas vide. Donc tout élément de j a demain des antécédents par f, c'est ça que ça veut dire. Mais on n'a pas l'unicité de cet élément, parce qu'il n'est pas l'ensemble vide, mais ça ne nous dit pas si c'est un singleton. Donc f est surjective mais pas forcément injective. Donc tout élément de j a demain des antécédents par f, ça nous dit la surjectivité. Et le fait qu'on n'ait pas l'unicité de ces antécédents, ça nous dit qu'elle n'est pas forcément injective. Donc la deuxième question, c'est quel que soit y dans j, l'image réciproque du singleton y contient au plus un élément. Donc au plus, ça veut dire que c'est soit l'ensemble vide, soit un singleton. Donc ça, ça ne nous donne pas l'existence d'un antécédent, mais ça nous dit s'il y en a un, il est unique. Donc ça c'est la définition de l'injectivité. Donc on écrit, tout élément de j, donc on traduit, tout élément de j admet au plus un antécédent. Voilà, c'est ça que ça veut dire. Donc on n'a pas forcément l'existence de cet antécédent. L'image réciproque du singleton y peut être l'ensemble vide. Donc f est injective sans forcément être surjective. Donc l'injectivité, elle vient de au plus un antécédent, il y en a l'existence, sans forcément être surjective parce qu'il n'y a pas forcément... Pardon, elle admet au plus donc à l'unicité et on n'a pas forcément l'existence de cet antécédent, donc on n'a pas forcément l'existence. Donc on n'a pas la surjectivité. Donc, la question 3, quel que soit y dans l'image de i par f, l'image réciproque du singleton y est différente de l'ensemble vide. En fait, là, qu'est-ce que ça nous dit? Ça nous dit que pour tout y dans l'image de f, l'image réciproque de cet y contient au moins un antécédent. En fait, là, ça ne nous apprend rien parce que par définition de l'image de f, tous les éléments dans cette image ont des antécédents. Par définition de f, ils ont des antécédents. Donc, ça ne nous apprend rien, c'est un peu la définition de l'image. Ça pourrait être une définition annexe de l'image. Ce que je veux dire, c'est que quel que soit y dans f de i, il existe un x tel que f de x égal y, et bien oui, c'est la définition de f de i. Pour la question 4, elle ne nous apprend rien, cette troisième assertion. Là, l'assertion 4, quel que soit y dans l'image de i, l'image réciproque de le singleton y contient au plus un élément. Ça veut dire que pour tout y dans f de i, on a l'existence, tous les éléments de y possédant un antécédent, l'image de i, c'est ça que ça veut dire, tout y appartenant à l'image de i, ils en possèdent un unique, parce que f moins 1 de y contient au plus un élément. Sauf qu'il en contient forcément un, comme on l'a vu ici, c'est redondant, c'est ce que ça dit, mais c'est redondant, parce que y est dans l'image de i, donc on a l'injectivité de f sans la surjectivité. En effet, on n'a pas la surjectivité, parce qu'on a quel que soit y dans l'image de i, mais on n'a pas quel que soit y dans j. Il peut y avoir des y dans j qui n'ont pas d'antécédent. Ça ne nous dit rien sur l'image de i. Donc on n'a pas la surjectivité. OK, c'est la fin de cet exercice, et on se dit à la prochaine fois!

Injection, surjection : propriétés

RELATED

Recommended videos

Injection, surjection : exemple

Ensembles images