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Calcul de primitives

Dans cette vidéo, Matisse de Studio montre comment effectuer des changements de variables pour calculer des intégrales. La première intégrale est l'intégrale de 1 à 4 de 1-√t sur √dt, qu'il nomme i. Il utilise la formule de changement de variable pour résoudre l'intégrale, en posant x égal à φt qui est égale à √t. En effectuant les étapes nécessaires, il obtient la valeur de i, qui est moins 1. La deuxième intégrale est l'intégrale de 0 à π de sin2t sur 1 plus cos²t dt, qu'il résout en posant x égal à cos2t. En vérifiant les hypothèses requises, il utilise le théorème de changement de variable pour obtenir la valeur de l'intégrale, qui est π sur 2. Enfin, la troisième intégrale est l'intégrale de 1 à e de 1 sur 2t ln de t plus t dt, qu'il résout en posant x égal à ln de t. Après avoir effectué les calculs nécessaires, il obtient que la valeur de l'intégrale est ln de 3 sur 2. Matisse souligne l'importance de bien maîtriser les changements de variables en adaptant la syntaxe et en les réutilisant de façon appropriée.

Bonjour à tous, c'est Matisse de Studio. Dans cette vidéo, on va effectuer des changements de variables. En effectuant le changement de variable demandé, calculez les intégrales suivantes. Alors on commence avec la première, c'est l'intégrale de 1 à 4 de 1-√t sur √dt. On la nomme i vu qu'en général c'est plus simple de commencer l'exercice en nommant les objets dans lesquels on utilise. Attention quand même à la conclusion, de ne pas réutiliser les notations qu'on a introduites, c'est plus simple de mettre directement la solution. Bref, ici il n'y a pas trop de quoi réfléchir, il faut effectuer le changement de variable demandé. Alors, tout comme l'intégration par partie, tout comme la récurrence, il y a des étapes à respecter. Donc on va y aller étape par étape. Le changement de variable, pour se rappeler l'idée, c'est l'idée que l'intégrale de f de φt, avec sa dérivée à l'extérieur φ't, dt, c'est égale à l'intégrale de f de u du. Bon, cette formule j'avoue que j'ai toujours eu du mal à l'appréhender, donc au final, il vaut mieux essayer de voir ce que ça fait en direct. En posant x qui est égale à φt, qui est égale à √t. Donc on identifie quand même le φ qu'on utilise, donc c'est la racine. Ok, puisqu'on nous a demandé de poser ceci. Alors à ce moment là, dx c'est égale à quoi? C'est égal à φ't, et c'est égal à 1 sur 2√t dt. Et puis la bande supérieure ça va être x+, qui vaudra √4, donc plus 2 si on choisit la bigilitivité. Et x- ce sera la racine de la bande inférieure, √1, qui vaudra 1. Attention, tout comme l'intégration par partie, il y a des hypothèses à vérifier pour le théorème de changement de variable. Alors, les hypothèses c'est quoi? C'est que φ qu'on a introduit ici, elle soit c1 sur l'intervalle de départ, donc 1, 4, et que f, donc f c'est la fonction, du coup si on remarque ici, si on essaye déjà de repérer, on aura du dt sur √t qui interviendra ici, donc la forme f en elle-même, c'est juste 1-x. Donc elle, il faut qu'elle soit continue sur φ0, φ4, donc sur 1, 2, il n'y a pas de souci. Donc à ce moment-là, par théorème de changement de variable, on a l'intégrale de 1 à 4, de, on fait apparaître la dérivée juste ici, et donc c'est égal à 2 fois l'intégrale de 1 à 2 de 1-x dx. Et là ça y est, c'est une intégrale très simple que l'on peut calculer. I, c'est donc égal à 2 fois l'intégrée de x-x² sur 2 de 1 à 2, et donc au final, l'intégrale de 1 à 4 de 1-√t sur √t dt, c'est égal à moins 1. Super, on passe à la deuxième intégrale, l'intégrale de 0 à π de sin2t sur 1 plus cos²t dt. Donc on doit poser x qui est égal à cos2t. Alors, changement de variable de la même manière, ici x est égal à φ de t qui vaut cos2t, maintenant dx, si on différencie, on obtient donc moins sin2t dt. Et donc là on va avoir en fait le dx, et on aura du 1 sur 1 plus cos²t. Donc x plus c'est cosinus de π, donc c'est moins 1, et puis x moins c'est cosinus de 0, donc c'est 1. Attention, les bandes seront inversées. Hypothèse, φ et c1 sur 0π, et f et c0 sur moins 1, 1, il faut le vérifier quand même. Donc par théorème de changement de variable, l'intégrale de 0 à π de sin2t sur 1 plus cos²t dt, c'est égal à l'intégrale de 1 à moins 1 de moins 1 sur 1 plus x²t. On a fait intervenir le moins, puisqu'il y avait un moins qui sortait de la dérivation. D'ailleurs on va utiliser ce moins pour inverser les bandes de l'intégrale, ce sera quand même plus simple dans l'autre sens. Et on reconnaît l'intégrale de 1, d'ailleurs c'est un dx là, excusez-moi, on reconnaît l'intégrale de 1 sur 1 plus x², c'est une intégrale usuelle, c'est arctangente. Donc arctangente évaluée en 1 moins 1, arctangente évaluée en moins 1, et bien c'est égal à π sur 2. Au final, l'intégrale de 0 à π de sin2t sur 1 plus cos²t dt, c'est égal à π sur 2. Et la troisième que nous avons évaluée, c'est l'intégrale de 1 à e de 1 sur 2t ln de t plus t dt. Alors qu'est-ce qu'il faut poser dans ce cas-là? Il faut indiquer de poser x qui vaut φ de t qui vaut ln de t. Ok, bon, à partir de là on différencie, dx est donc égal à 1 sur t dt. Alors, le 1 sur t, d'où est-ce qu'il va venir? Eh bien on va sans doute factoriser par 1 sur t pour le faire matcher avec le dt, et qu'est-ce qu'il reste? Il reste 1 sur 2 ln de t plus 1. Donc au final f, c'est la fonction qui a x associé 1 sur 2x plus 1. φ et c1 sur 1e, f et c0 sur 0,1, donc par théorème de chambre de longue variable, l'intégrale de 1 à e de 1 sur 2 ln de t plus 1 fois 1 sur t dt, bon là j'ai mis en valeur le chambre de longue variable, comment on va faire, c'est égal à l'intégrale de 0 à 1 de 1 sur 2x plus 1 dx. Et là on retombe sur une fraction polynomiale, on sait comment la traiter. Ici on a juste une puissance 1, donc au final on a à multiplier par 2 ici, et à compenser pour obtenir u' sur u. On se retrouve avec l'intégrale de u' sur u, c'est ln de valeur absolue de u, sur l'intervalle considéré, c'est positif. Donc au final, l'intégrale de 1 à e de 1 sur 2t ln de t plus t dt, ça fait beaucoup de t, c'est égal à ln de 3 sur 2. Voilà la fin de cet exercice, c'est pour un bien savoir maîtriser, pour commencer à manipuler les changements de variables. La syntaxe est à apprendre par cœur, et à réutiliser, il faut l'adapter, il faut vraiment se l'approprier. Merci beaucoup d'avoir suivi cette vidéo, et moi je vous dis à bientôt!

Changement de variables 1

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