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Calcul de primitives

Dans cette vidéo, Mathis de Studio aborde les changements de variables en calculant des intégrales. Pour ce faire, il utilise la démarche type de l'intégrale de f de phi de t phi prime de t dt qui est égale à l'intégrale de f de u du. Il pose plusieurs variables, telles que x qui vaut exponentielle t pour l'intégrale de 0 à 1 de 1 sur 1 plus exponentielle t dt, et t qui vaut sinus de θ pour l'intégrale de moins 1 à 1 de racine de 1 moins t² dt. Il vérifie les hypothèses du changement de variable pour chaque cas et utilise des méthodes mathématiques pour résoudre les intégrales, telles que la décomposition en éléments simples et la formule trigonométrique pour calculer l'intégrale de cos² θ dt. Il rappelle également l'importance de s'adapter à chaque cas et de suivre la dynamique des changements de variables. Au final, il obtient les résultats suivants : l'intégrale de 0 à 1 de 1 sur 1 plus exponentielle t dt est égale à 1 plus ln de 2 moins ln de e plus 1, l'intégrale de 1 à 3 de racine de t sur 1 plus t dt est égale à racine de 3 moins 1 moins pi sur 12, et l'intégrale de moins 1 à 1 de racine de 1 moins t² dt est égale à pi sur 2.

Bonjour à tous, c'est Mathis de studio. Dans cette vidéo, on va effectuer d'autres changements de variables. On demande d'effectuer justement le changement de variable demandé en calculant les intégrales suivantes. La première, c'est l'intégrale de 0 à 1 de 1 sur 1 plus exponentielle t dt. On demande de poser x qui vaut exponentielle t. Le changement de variable, on met en place la démarche type. On rappelle l'idée, c'est l'intégrale de f de phi de t phi prime de t dt qui est égale à l'intégrale de f de u du. Il faut bien repérer les différents éléments dans le schéma type. Alors, on doit poser x qui vaut donc f de t exponentielle t. En différenciant, dx est donc égal à exponentielle t dt. L'avant de supérieur pour x ce sera exponentielle 1 et puis l'avant inférieur ce sera exponentielle 0 donc 1. Alors maintenant, il faut faire apparaître les termes qu'on a introduits. Là, on aurait un x mais on n'a pas encore de exponentielle dt pour faire apparaître un dx. Donc, on va forcer l'apparition de ce exponentielle dt en multipliant en haut et en bas par exponentielle t. Donc ici, on aura clairement un dx et ce qui reste c'est pour la fonction de base. Donc ce sera avec x exponentielle t, ce sera 1 sur x plus x carré. Les hypothèses du changement de variable, ne pas les oublier, c'est que phi c'est exponentielle donc elle est bien c1 sur 0,1 et f, la fonction introduite ici, elle est c0 sur 1,e. Donc par théorème de changement de variable, l'intégrale à calculer est égale à l'intégrale de 1 à e de 1 sur x plus x carré dx. Alors comment est-ce qu'on calcule maintenant l'intégrale de 1 sur x plus x carré? Tout d'abord, il faut classer l'intégrale qu'on demande. En fait, c'est l'intégrale d'une fraction polynomiale. Et bien là, c'est banco vu qu'on a une méthode toute faite pour calculer les intégrales de fractions polynomiales. Il faut tout d'abord se pencher sur le discriminant du polynome en question. Alors le polynome au dénuateur, son discriminant c'est 1 moins 4 fois 1 fois 0, donc c'est 1, il est supérieur ou égal à 0. Ainsi, on va effectuer une décomposition en éléments simples et ça va nous donner des solutions, des intégrales en ln. On aurait pu avoir un discriminant strictement négatif, à ce moment-là on aurait mis sous forme calinique et on aurait eu une intégrale en arctangente. Alors, on part sur la décomposition en éléments simples, 1 sur x carré, ça peut se factoriser de la manière suivante, 1 sur x facteur de x plus 1. Et puis c'est parti pour la décomposition en éléments simples. Bon, je ne détaille pas la méthode, vu que je l'ai déjà pas mal détaillée dans le calcul algébrique. Et donc au final on obtient que 1 sur x plus x carré c'est égal à 1 sur x moins 1 sur x plus 1. Donc on peut, par linéarité de l'intégrale, séparer les deux et on obtient des solutions en ln, donc ln de valeur absolue de x évaluée en e moins évaluée en 1 et ln de valeur absolue de x plus 1 évaluée en e moins évaluée en 1. Conclusion, l'intégrale de 0 à 1 de 1 sur 1 plus exponential t dt c'est égal à 1 plus ln de 2 moins ln de e plus 1. Très bien. La deuxième à calculer, je les nomme à chaque fois vu que c'est quand même plus simple à manipuler, si jamais j'en ai besoin. Mais on finit toujours la conclusion par abandonner nos notations propres pour déterminer ce qu'on nous avait demandé. Alors l'intégrale de 1 à 3 de racine de t t plus 1 dt. Alors qu'est-ce qu'il fallait poser? Il fallait poser x, donc phi de t, qui est égal à racine de t. Donc à ce moment-là, dx c'est égal à 1 sur 2 racine de t dt en différention. Alors est-ce qu'on peut faire apparaître ça à l'intérieur? Bon d'abord on calcule les bandes bien sûr, racine de 3 et racine de 1. On prend les solutions positives. Et donc maintenant c'est tout le travail de faire apparaître ce qu'on souhaite observer. Donc on force l'apparition du 1 sur 2 racine de t dt. Ça nous fait apparaître pour le reste du 2 fois racine de t sur racine de t plus 1 sur racine de t. A ce moment-là, si on garde ça pour le dx, f c'est la fonction qui a x associé, x sur x plus 1 sur x. Donc x² sur 1 plus x². On vérifie les hypothèses maintenant qu'on a déterminé les deux fonctions en question. Et par théorème de changement de variable, l'intégrale de 1 à 3 de racine de t sur 1 plus t dt c'est égal à l'intégrale de 1 à racine de 3 de x² sur 1 plus x² dx. Alors maintenant il s'agit de déterminer l'intégrale de cette quantité. Et en fait c'est une intégrale, je dirais pas de référence, qu'on a pas à prendre par cœur, mais très classique. En effet, là on regarde que le dénumérateur il ressemble beaucoup beaucoup au numérateur. Il manque quoi? Il manque un plus 1. Mais si je force l'apparition du plus 1, c'est toujours la même manière, en maths c'est très souvent ça de toute façon. On force l'apparition de ce qu'on veut. On doit par contre qu'on brosse par un moins 1. Mais ça nous arrange, vu qu'avec la technique du plus 1 moins 1, de ce côté là on va avoir juste un facteur 1, et de l'autre on aura un moins 1 sur 1 plus x², bingo, c'est arc tangente. Donc au final les calculs se passent très bien, et on obtient à la fin l'intégrale de 1 à 3 de racine de t sur 1 plus t dt, c'est égal à racine de 3 moins 1 moins pi sur 12. La dernière que nous avons à calculer c'est k, c'est l'intégrale de moins 1 à 1 de racine de 1 moins t² dt. Alors le changement variable nous demande de poser t qui vaut sinus de θ. Alors là c'est l'inverse, d'habitude on posait un θ qui s'exprimait en fonction de t, maintenant on nous demande de poser t qui vaut sinus θ, donc c'est plus simple pour appliquer directement la formule, on a juste à remplacer t et dt, mais par contre les bornes c'est un peu plus compliqué vu qu'on doit déterminer l'inverse de phi. Alors la bande supérieure de θ ce sera pi sur 2, la bande inférieure ce sera moins pi sur 2, f ce sera donc la racine carrée de 1 moins x². En vérifiant les hypothèses on en déduit que l'intégrale de moins 1 à 1 de racine de 1 moins t² dt c'est égal à l'intégrale de moins pi sur 2 à pi sur 2 de racine de 1 moins sinus² cosinus θ dt. Bon là on comprend tout de suite pourquoi est-ce qu'on nous a fait travailler ça, puisque c'est la racine carrée de cos² θ. Or sur moins pi sur 2 pi sur 2 le cos est positif, donc finalement c'est égal à cosθ qui vient se mettre au carré avec celui-ci. On demande d'évaluer l'intégrale de moins pi sur 2 à pi sur 2 de cos² θ dt. Bon ça on connaît pas tellement l'expression de l'intégrale de cos², par contre on connaît le cosinus et ça tombe bien vu qu'on a une formule trigonométrique qui nous permet de faire descendre le carré. Cos² c'est 1 demi de cos2θ plus 1 et là on se retrouve en séparant par linéarité de l'intégrale avec deux intégrales que l'on connaît très bien. En effectuant les calculs on trouve que l'intégrale de moins 1 à 1 de racine de 1 moins t² dt c'est égal à pi sur 2. Voilà on a franchi une étape dans les changements de variables, c'est quand même déjà un peu plus corsé. Bien retenir, ça c'est très important, la méthode lorsque l'on a une fraction polynomial et puis globalement ne pas se laisser décontencer, des fois on pose x en fonction de t, des fois t en fonction de x ou θ, il faut s'adapter et en tout cas on se réfère toujours à la même dynamique donc c'est ça qui est pratique en même temps avec les changements de variables, les intégrations de partie, c'est qu'il n'y a pas de surprise, il faut appliquer dans l'ordre et puis tester. On n'y arrive pas forcément du premier coup, là on nous donnait directement la bonne solution donc c'était plutôt rapide. Merci beaucoup d'avoir suivi cette vidéo et je vous dis à bientôt!

Changement de variables 2

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