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Calcul de primitives

Le cours traite de la détermination de primitives de fractions polynomiales en utilisant deux méthodes différentes en fonction du discriminant du dénominateur. Si le discriminant est strictement négatif, la mise sous forme canonique est utilisée pour résoudre le problème, tandis que si le discriminant est supérieur ou égal à zéro, la méthode de décomposition en éléments simples est utilisée. Plus précisément, l'intégrale de référence de 1 sur x² plus a² est utile pour résoudre certaines primitives. Pour x² plus 4x plus 5, la forme canonique est utilisée pour obtenir la primitive. Pour 1 sur 1 moins x², la décomposition en éléments simples est utilisée pour obtenir la primitive. Enfin, le cours donne un exemple de ce qu'il faut faire si le dénominateur contient à la fois des termes linéaires et quadratiques. Les deux méthodes aboutissent à des primitives différentes, sous forme de RLN ou d'arc-tangente.

Bonjour à tous, c'est Mathis de studio. Dans cette vidéo, on va déterminer des primitives de fractions polynomiales. On nous demande de donner une primitive des fonctions suivantes. Alors la première c'est x associé 1 sur x² plus 4. Et en fait, elles sont toutes, comme je vous ai dit, des fractions polynomiales. Et donc on a une méthode précise, toute faite, sur les fractions polynomiales, il n'y a pas de questions à se poser. Elle dépend du discriminant du dénominateur. Alors, le polynome au dénominateur, on calcule son discriminant, et à ce moment là, s'il est supérieur ou égal à 0, on part en décomposition en éléments simples. Or, s'il est strictement négatif, il s'agit de mettre le dénominateur sous forme canonique. Donc pour le premier cas, le discriminant c-16, strictement négatif, donc on le met sous forme canonique. La forme canonique, pour rappel, c'est celle qui fait passer ax² plus bx plus c, sous forme a facteur de x moins alpha² plus beta. Alors, ici on a x² plus 4, on a directement a qui est égal à 1, alpha qui est égal à 0, et beta qui est égal à 4. C'est déjà quasiment mis sous forme canonique. Ok. Or, ça c'est une intégrale de référence, il faut connaître. L'intégrale de 1 sur x² plus a² dx, c'est égal à 1 sur a arctangente de x sur a. Si on voulait le redémontrer, il faudrait faire un changement de variable. Alors, une primitive à ce moment là de 1 sur x² plus 4, c'est la fonction qui a x associé 1 demi, puisque le 4 en fait c'est un 2², 1 demi de arctangente de x sur 2. Alors, la deuxième, c'est 1 sur x² plus 4x plus 5. Alors, le discriminant c'est 16 moins 20, donc c'est moins 4, c'est strictement inférieur à 0. Donc on la met sous forme canonique. x² plus 4x plus 5 c'est donc x², non pardon, x plus 2 au carré, en effet on met un 2 pour que, en sortant développé, on tombe sur le bon nombre de x. Donc ici on en veut 4. Ainsi, si on a x plus a², on sait qu'on retombe sur x² plus 2ax. Donc ici on souhaite que a soit égal à 2. Et donc, inévitablement, ça introduit une autre constante, donc on note plus c, plus 5. Or, c on veut quand même que ça vérifie l'égalité. Donc on est obligé de poser c qui est égal à moins 4, puisque si on développe tout ça, on a du plus 4 plus 5, et de l'autre côté on a du plus 5, donc il faut un moins 4 pour compenser. Ainsi, la mise sous forme canonique, ça nous donne quoi? x² plus 4x plus 5 c'est x plus 2 au carré plus 1. Très bien. Et maintenant, qu'est-ce qu'on fait de cette mise sous forme canonique? Eh bien, on l'introduit à l'aide du théorème fondamental de l'analyse, dans la calcul de primitives. L'intégrale de 0 à x de 1 sur t plus 2² plus 1 dt. Eh bien au final on se retrouve avec la même manière, arc tangente de u. Et oui, et donc c'est arc tangente de t plus 2 entre 0 et x, pour au final trouver qu'une primitive de x associée 1 sur x² plus 4x plus 5, c'est la fonction qui a x associée arc tangente de x plus 2. La constante, je l'ai enlevée, j'ai dit que j'annonçais une primitive. La troisième à déterminer, c'est 1 sur 1 moins x². Alors là, le discriminant, il est 7 égale à 4, donc il est strictement supérieur à 0, donc on part en décomposition en éléments simples. Alors là, on fait toute la décomposition en éléments simples pour au final obtenir que 1 sur 1 moins x² c'est égal à 1 demi de 1 sur 1 plus x plus 1 demi de 1 sur 1 moins x. Très bien, donc qu'est-ce qu'on fait de cette décomposition en éléments simples? Eh bien on utilise les propriétés de linéarité de l'intégrale pour décomposer en deux intégrales simples. En effet, elles font intervenir du 1 sur u, même du u' sur u plutôt. Attention, là, puisque le u c'est 1 moins t, donc u' c'est moins, donc il faut bien faire intervenir un moins ici et un moins là. Donc au final, on obtient la primitive de 1 sur 1 moins x², et c'est la fonction qui a x associé 1 demi de ln de valeur absolue de 1 plus x, le tout divisé par 1 moins x. Voilà, c'est la fin de ces exos, au moins on commence à bien y voir clair sur les primitives de fractions rationnelles. D'ailleurs, petit point, si on se retrouve avec du, par exemple, x² plus bx plus d, le tout divisé par 2x² plus ax plus c. Donc là, vous vous demandez comment est-ce qu'on arrive à résoudre ça? Eh bien en fait, on a juste à simplifier ça au maximum en séparant, c'est-à-dire qu'on va multiplier par 2 ici, pour faire intervenir du 1, et au final on se retrouvera avec du x sur x², qu'on pourra faire intervenir comme du u' sur u, ou alors du 1 sur x², et que l'on traite de cette manière. Donc il y a à retenir, deux façons différentes, soit on décompose en éléments simples lorsque le discriminant est positif, soit on met sous forme canonique, dans un cas on obtient des solutions, enfin des primitives en RLN, et dans l'autre cas, des primitives sous forme d'arc-tangente. Merci beaucoup d'avoir suivi cette vidéo, et je vous dis à bientôt!

Décomposition en éléments simples

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