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Calcul de primitives

Dans cette vidéo, Matisse de Studio traite d'une intégrale imaginaire en utilisant la propriété du cosinus qui n'est qu'une partie d'une exponentielle complexe. En se rappelant cette propriété et en utilisant des propriétés d'intégrales, il parvient à se ramener à un produit de seulement deux fonctions. Il utilise ensuite l'intégration par partie pour calculer cette intégrale et obtenir l'expression finale. Il conclut en recommandant la méthode d'exprimer le cosinus en fonction exponentielle, ce qui peut faciliter la résolution de problèmes complexes. Enfin, il donne l'expression finale de l'intégrale.

Bonjour à tous, c'est Matisse de Studio. Dans cette vidéo, on va étudier une intégrale imaginaire. Alors pourquoi imaginaire? On nous demande de calculer l'intégrale de 0 à π de x² exponential x cosinus x dx. Alors là, ça nous surprend et on est un peu décompensé vu que c'est un produit de trois expressions totalement différentes. Alors déjà, deux expressions, on était obligé de passer au stade au-dessus, de parler d'intégration par partie et de dérivation, enfin de changement de variable. Alors là, avec trois, on est un peu décompensé. Alors en fait, il faut se rappeler qu'un cosinus, ce n'est qu'une partie d'une exponentielle complexe. Et c'est là toute l'astuce, c'est qu'on va se ramener en fait à un produit de seulement deux expressions, de seulement deux fonctions, en utilisant cette propriété et aussi des propriétés d'intégrales. Alors, première étape, se ramener à une intégrale de référence, en effet. Alors à partir de là, on peut utiliser soit la formule de l'air pour le cosinus, c'est exponentielle x plus exponentielle de moins x sur 2, mais c'est plus simple de passer par les complexes. Et on va le faire tout de suite. Alors le cosinus x, en fait, c'est la partie réelle de exponentielle ix. Or c'est une propriété de l'intégrale, l'intégrale de la partie réelle, c'est la partie réelle de l'intégrale. Donc on peut l'extraire comme ça. Alors, l'intégrale qu'on souhaite calculer, c'est donc l'intégrale de 0 à pi de x² exponentielle x, partie réelle de exponentielle ix dx. Et donc ça y est, par propriété d'intégrale, on sort la partie réelle pour tomber sur l'intégrale de 0 à pi de x² exponentielle de 1 plus ix dx. Et là, on a totalement changé de problème, vu qu'on se retrouve à devoir calculer cette intégrale-là, puis après prendre la partie réelle, mais bon, ça, c'est pas très coûteux. Calculer cette intégrale-là, et bien c'est le produit de deux fonctions, un polynôme et puis une exponentielle, et bien ça, on connaît bien. On va s'y prendre à un gros coup d'intégration par partie. C'est la deuxième étape. On calcule via intégration par partie x² exponentielle 1 plus ix. On se doute qu'on va devoir faire deux intégrations par partie, puisqu'il y a un facteur 2 ici, donc la première va baisser d'un rang, et la seconde va bien nous ramener à l'intégrale d'une exponentielle qui, là, se terminera. Alors, on commence par poser les fonctions. u qu'on cherche à dériver, c'est x², donc u' 2x, et puis v' c'est une exponentielle, donc ça s'intègre très bien sans complexifier la chose, v c'est 1 sur 1 plus i, exponentielle de 1 plus ix, ça convient. Les hypothèses, c'est qu'elles sont c1 sur 0 pi, c'est vérifié bien sûr, avec un polynôme et une exponentielle, donc par théorème d'intégration par partie, l'intégrale de 0 à pi de x² exponentielle 1 plus ix dx, c'est égal à la partie intégrée, donc x² sur 1 plus i exponentielle de 1 plus ix entre 0 et pi, moins l'intégrale entre 0 et pi de 2x divisé par 1 plus i exponentielle de 1 plus ix dx. Ok, c'est une expression très lourde à dire, désolé si je vais un peu vite. Alors, on a bien abaissé d'un degré, ici c'est bon, on a juste à l'évaluer, et on a abaissé d'un degré, maintenant on n'a qu'à réitérer pour abaisser encore d'un degré. Ok, donc de même, qu'est-ce qu'on a? On peut poser les fonctions u qui est égal à x, et donc v prime qui est égal à exponentielle de 1 plus ix, avec la même intégrale qui convient, un primitif par exemple, qui convient. Les hypothèses sont bien vérifiées, donc par théorème d'intégration par partie encore une fois. La petite intégrale de 0 à pi de 2x sur 1 plus i, exponentielle de 1 plus ix dx, c'est égal à 2x sur 1 plus i au carré, exponentielle de 1 plus ix entre 0 et pi, moins l'intégrale de 0 à pi de 2 sur 1 plus i au carré, exponentielle de 1 plus ix dx. Et là c'est bon, on se retrouve juste avec l'intégrale d'une exponentielle. On calcule tout ça, ici j'ai simplifié l'expression juste ici en développant 1 plus i au carré, très bien. Donc là c'est juste du calcul, je passe, je ne détaille pas, il n'y a rien de très savant. Au final on trouve l'expression de la petite intégrale, qu'on réinjecte dans le bilan. L'intégrale de 0 à pi de x carré exponentielle de 1 plus ix dx, c'est égal à une grosse expression, moins pi carré sur 1 plus i, exponentielle de pi, moins i pi exponentielle de pi, plus i sur 1 plus i, plus i sur 1 plus i, j'ai failli arriver, exponentielle de pi plus 1. Ok, alors si on rembobine le schéma de pensée, nous on devait, c'est bon on a calculé cette intégrale, mais il ne faut pas oublier qu'à la base on ne calculait pas exactement celle-là, on calculait celle-ci. Maintenant il suffit de prendre la partie réelle. Pour prendre la partie réelle, il faut écrire tous les noms complexes sous forme algébrique, donc sous forme a plus ib, et puis extraire tous les a. On prend la partie réelle, donc tous les démélateurs on les multiplie par la quantité conjuguée, et on prend la partie réelle, on obtient cette expression. Pour finalement conclure, cette grosse intégrale, un triple produit, de 0 à pi de x²exponentiellex cosinus x dx, grâce à la mise sous forme imaginaire, on en réduit que c'est égal à 1 moins pi carré sur 2 exponentielle pi plus 1 demi. Donc voilà, il faut bien retenir cette méthode qui est très pratique de souvent exprimer le cosinus en fonction exponentielle. C'est quelque chose qui doit un peu s'automatiser au fur et à mesure qu'on avance dans l'année. Il va falloir petit à petit assimiler le cosinus comme une forme d'exponentielle un peu particulière, puisque la partie réelle a souvent de très bonnes propriétés, donc utiliser cette technique promet en général une résolution réussie. Merci beaucoup d'avoir suivi cette vidéo, et puis maintenant je vous dis à bientôt!

Les complexes à l'aide !

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