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Calcul de primitives

Dans cette vidéo, on aborde le calcul des intégrales de Wallis. Pour commencer, on pose Wn, qui est l'intégrale de 0 à pi/2 de sin(nx) dx. On nous demande tout d'abord de calculer W0 et W1. En appliquant la formule, on trouve que W0 = pi/2 et W1 = 1. Ensuite, on nous demande de trouver une relation entre Wn et Wn+2. En utilisant l'intégration par parties, on dérive sin(n+1)x pour obtenir sin(nx). Après avoir simplifié, on obtient Wn+2 = (n+1)/(n+2) * Wn. Enfin, on nous demande de déduire W2n et W2n+1 en fonction de n. En remontant les rangs, on obtient que W2n = (2^n * (n!)^2 * pi) / (2n+1)!. De même, W2n+1 = (2^n * (n!)^2) / (2n+1)!. Cette méthode, bien que complexe, est importante à connaître pour les intégrales de Wallis.

Bonjour à tous, c'est Matisse de Studio. Dans cette vidéo, on va calculer les intégrales de Wallis. Alors qu'est-ce que les intégrales de Wallis ? Pour n, l'antinaturel, on pose Wn, qui est égal à l'intégrale de 0 à pi sur 2 de sin nx dx. Sin à la puissance n, c'est la fameuse intégrale de Wallis. Alors première question, calculez W0 et W1. Alors, c'est parti, il y a juste à appliquer la formule. W0, c'est l'intégrale de sin0, donc de 1. L'intégrale de 0 à pi sur 2 de 1, c'est bien sûr pi sur 2. Ensuite, l'intégrale de sin, ça s'intègre en moins que sin, de 0 à pi sur 2, ça nous donne 1. Très bien, donc c'est une petite mise en bouche. Ensuite, déterminer, le laser qui fait des siennes, question 2, détermine une relation entre Wn et Wn plus 2. Alors, pour s'attaquer à ça, tout de suite on écrit Wn plus 2 pour essayer de repérer Wn. Donc ici, sinus de n plus 2, on aimerait revenir à du sinus puissance n. Alors, comment est-ce qu'on peut revenir à du sinus puissance n ? Bien sûr, en dérivant. Ça va peut-être se passer, on a un début d'intuition d'intégration par partie, mais en intégration par partie, on va dériver une fois, donc on a juste à dériver du sinus de n plus 1 de x. Et donc, ça nous fait en même temps apparaître un sinus de x qu'on va pouvoir primitiver, vu que c'est assez facilement primitivable. Je ne sais pas si ça se dit primitivable, mais bon, on y va. Alors, à partir de là, en dérivant, une puissance va tomber. Donc on va bien se retrouver avec du sinus puissance n. Donc on a posé les jalons, il n'y a plus qu'à dérouler la fameuse méthode d'intégration par partie en posant les fonctions u, celle qu'on veut dériver c'est sinus de n plus 1 x, deux dérivés n plus 1, attention à ne pas oublier la dérivée de sinus, puisque c'est une composition de fonctions, sinus puissance n de x, ok. V', ici c'est sinus x qui se primitive en moins que sinus x, par exemple, c'est une primitive possible, donc moins que sinus x convient. Ensuite, les hypothèses du théorème d'intégration par partie, c'est quoi ? C'est u et v sont deux fonctions c1 sur 0 pi sur 2, ce sont des produits de fonctions trigonométriques. Donc par théorème d'intégration par partie, Wn plus 2 par IPP, c'est l'intégrer de moins que sinus x, sinus x à puissance n plus 1 entre 0 et pi sur 2. Or, si on calcule directement là, on a à chaque fois sinus en 0 qui vaut 0 et cosinus en pi sur 2 qui vaut 0, donc cette partie vaut 0. Puis autrement, on a n plus 1 fois l'intégrale de 0 à pi sur 2, attention, on a deux cosinus qui sortent, à la fois un de la dérivation et l'autre de la primitive de sinus. Donc n plus 1 fois l'intégrale de 0 à pi sur 2 de cosinus carré x, sinus x puissance n de x, ok. Alors, à partir de ça, comment est-ce qu'on s'en sort ? Effectivement, on est content vu qu'on a fait apparaître du sinus puissance n, donc on sait qu'on se rapproche un peu de la solution, surtout qu'on n'a pas fait apparaître grand-chose. Or maintenant, il y a toujours le cosinus carré qui nous embête. Eh bien, le cosinus carré, on a envie de le ramener à un sinus autant qu'on travaille avec des objets de même nature. Or, cos carré, c'est bien sûr avec la formule trigonométrique 1 moins sinus carré, et en mettant ça, eh bien, on distribue d'après la linéarité de l'intégrale et on obtient, donc le 1 va nous donner l'intégrale de sinus nx et l'autre va nous donner l'intégrale de sinus n plus 2, on a rajouté deux puissances au sinus. Et ça tombe bien vu que c'est exactement la définition de l'intégrale de Wallis au rang n et l'intégrale de Wallis au rang n plus 2. Donc bilan, Wn plus 2, c'était n plus 1 fois Wn moins Wn plus 2. Donc conclusion, Wn plus 2, c'est égal à n plus 1 divisé par n plus 2 fois Wn. On a répondu à la question. Alors, troisième question, en déduire W2n et W2n plus 1 en fonction de n. Alors là, c'est une question particulièrement sensible, elle n'est pas du tout simple. Donc il faut bien voir le raisonnement, comprendre ce qu'on fait, les calculs que l'on fait et essayer de calculer ce que ça fait. Alors on va y aller pas à pas. Alors pourquoi on nous demande W2n et W2n plus 1 ? Ça sous-entend que ça dépend du signe de l'indice que l'on regarde. Et en effet, vu qu'on a une relation entre Wn plus 2, donc le rang deux rangs d'après et le rang initial, ça veut dire qu'on peut remonter le 2 en 2. Alors c'est pas pour rien ce qui nous a fait calculer W0 et W1, c'est que dans le cas pair, on va remonter jusqu'à W0, et dans le cas impair, on va remonter jusqu'à W1. Et c'est pas la même chose. Alors on va faire les deux cas. Tout d'abord, pour W2n. Alors, d'après la question 2, si on applique la formule pour n plus 2 qui vaut 2n, c'est égal à 2n moins 1 sur 2n fois W2n moins 2. On est bien passé de 2n à 2n moins 2. Et voilà, il faut remonter jusqu'à ce qu'on arrive à W0. Et bien, si on remonte encore d'un rang, c'est égal à 2n moins 1 sur 2n fois W2n moins 2, donc 2n moins 3 sur 2n moins 2 fois W2n moins 4. Et on propage ainsi la relation jusqu'à arriver à W0. Et là, attention, c'est assez délicat de calculer quel est le terme avant W0. Alors, si on regarde cette formule-là, si on est arrivé à W0, ça veut dire que n valait 0. Donc ici, c'était bien W2 qui était égal à 1 sur 2. Donc c'est bien 1 demi de W0. Maintenant, on obtient une relation avec des pointillés, donc c'est pas du tout... Enfin, faut pas répondre comme ça dans un ES, il faut répondre une solution exacte, enfin, plutôt condensée. Et pour condenser la solution, c'est là que c'est pas simple. Alors, regardez ce que je vous ai fait. J'appelle le produit P, le produit de tous les dénominateurs. Donc c'est 2n fois 2n moins 2 fois 2n moins 4, etc. jusqu'à 2. Ok. Et bien en fait, ce que je vais faire, c'est que je vais multiplier en haut et en bas par ce polynôme P. Enfin, ce produit P, pardon. Et là, attention, il faut bien se rendre compte de ce qu'on fait. Si on multiplie en haut par ce produit, et bien en fait, ça va venir combler tous les trous nécessaires pour obtenir 2n plus 2 factorial. En effet, on aura 2n fois 2n moins 1 fois 2n moins 2 fois 2n moins 3 fois 2n moins 4 fois 2n moins 5. Donc exactement, 2n plus 2 factorial. Et en bas, si on multiplie par la même chose, et bien en fait, on va extraire déjà, si on regarde ici, on peut extraire un certain nombre de 2. Combien on peut en extraire ? Et bien on peut en extraire 2 puissance n. En effet, il y a n fois un produit de 2. Donc on a du 2 puissance n. Et si on extrait le 2 puissance n à chaque fois de ça, et bien on tombe exactement sur n factorial. D'ailleurs, il y a une petite erreur de recopiage, c'est 2n moins 2 ici. Donc je recommence. Avant de même de multiplier par le produit. Si on cherche à évaluer ce que ça vaut ça, en ayant 2n moins 2, et bien on peut tout d'abord extraire tous les facteurs 2 devant chaque. Il y en a n, car il y a n produits. Donc, au final, on peut extraire 2 puissance n de l'ensemble des produits. Et si on extrait tout ça, il restera quoi ? Il restera un n fois n moins 1, en effet, vu que ça s'est fait de ça, fois n moins 2, fois n moins 3. Vous pouvez faire le calcul pour vous en rendre compte. Donc c'est exactement n factorial. Donc au final, tout ce produit, c'est même P en fait, le produit P est égal à 2 puissance n fois n factorial. Et donc, multiplier par lui-même, ça nous donne bien 2 puissance 2n fois n factorial au carré. Je l'avais marqué là. Donc au final, W2n, donc l'intégral de quelque chose de très compliqué, le sinus à la puissance 2n, entre 0 et 2Pi, c'est égal à cette grosse expression, 2n plus 2 factorial sur 2 puissance 2n plus 1, fois n factorial au carré, fois Pi. Voilà, maintenant on va faire la même chose, mais en remontant jusqu'à W1, vu qu'on va s'attaquer au rang impair. Alors, les rangs impairs, ça nous donne quoi ? Ici, on part de W2n plus 1. Donc n plus 2 joue le rôle de 2n plus 1. Donc c'est égal à 2n sur 2n plus 1, fois W2n moins 1, et donc c'est égal à 2n sur 2n plus 1, fois 2n moins 2 sur 2n moins 1, fois W2n moins 3. On intercelle ça jusqu'à W1, et ça nous donne donc cette expression-là. Et en fait, à ce moment-là, on va faire exactement la même chose. On va multiplier, mais toujours par la même expression, donc 2n fois 2n moins 2, fois 2n moins 4, etc., jusqu'à 2. En fait, on va encore multiplier par 2 puissance n fois n factorial, en haut et en bas. Eh bien, si on regarde, en bas, qu'est-ce que ça va donner ? On va multiplier ici par 2n, on va combler le trou ici, 2n moins 2, et en fait, on va obtenir 2n plus 1 factorial. Et puis en haut, attention, on n'est pas parti de 2n, donc ça nous donne bien 2 puissance 2n n factorial au carré. Finalement, en utilisant l'expression de W1 qu'on a trouvée, W2n plus 1, donc l'intégrale de 0 à 2pi de n'importe quelle puissance impair de sinus, c'est égal à 2 puissance 2n, n factorial au carré, le tout divisé par 2n plus 1 factorial. Donc voilà, c'est un exercice très complet, qui fait revoir l'intégration par partie, mais aussi, cette méthodologie, elle est bien à retenir car elle est assez unique, et vraiment pas, comment je pourrais dire, naturelle. Il faut avoir cette technique dans son matériel, et aussi savoir bien calculer, se rendre compte de quel produit fait quoi. Et puis ça fait un chouette exo sur les intégrales de Lewis, très très joli. N'hésitez pas à le refaire pour vous entraîner, et puis moi je vous dis à bientôt !

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