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Trigonométrie

Dans cette vidéo, Mathis de Studio explique comment calculer des sommes de cosinus et sinusoïdes. Il commence par expliquer comment calculer la somme pour k allant de 0 à n de cosinus kx, où n est un nombre entier négatif et x est un réel. Il utilise la formule de trigonométrie 2 sin a cos b pour simplifier l'expression. Il en vient alors à la somme télescopique, qui est une somme où la fonction évaluée en n+1 moins la fonction évaluée en 0 donne la somme recherchée. Il applique cette technique pour trouver la somme pour k allant de 0 à n de sinus kx. Ensuite, il utilise cette technique pour trouver la somme pour k allant de 0 à n de cosinus carré kx et la somme pour k allant de 0 à n de sinus carré kx. Enfin, il résume les résultats obtenus pour ces différentes sommes et explique l'importance de la digestion de cas lorsqu'on divise des fonctions trigonométriques.

Bonjour à tous, c'est Mathis de studio et dans cette vidéo on va sommer des cosinus. On nous demande de calculer les sommes suivantes. Tout d'abord Sn qui est la somme pour k nant de 0 à n de cosinus kx, x un réel et n un anti-naturel. On pourra d'abord calculer 2 sin x sur 2 Sn. Bon voilà c'est jour de fête puisqu'on nous indique la manière de commencer, donc il n'y a pas mille questions à se poser, on se précipite dessus. C'est parti, alors on pose n un anti-naturel et x appartenant à R et puis on calcule 2 sin x sur 2 Sn, c'est la somme pour k nant de 0 à n, on a fait rentrer dans la somme vu que ça dépend de pas de k, 2 sin x sur 2 cos kx. Et là on reconnaît la formule de trigonométrie 2 sin a cos b, et bien c'est égal à sin a-b plus sin a plus b. Donc c'est la somme pour k nant de 0 à n de sin x sur 2 moins kx plus sin x sur 2 plus kx. Alors en regardant comme ça, une somme de sinus, on ne connaît vraiment pas. C'est comme les sommes avec les fonctions où ça fait intervenir des fonctions qu'on ne connaît pas du tout, on se ramène à des fonctions pas du tout visuelles. Une somme de sinus, on n'a aucune idée de combien ça peut faire. Alors, quand en général on est dans le pétrin, à quoi est-ce qu'on fait, on demande le sauvetage? C'est bien sûr la somme télescopique. Et donc là on va tout faire pour travailler et faire apparaître cette somme télescopique. Alors tout d'abord, la somme télescopique, il faut que l'indice de sommation soit présenté un peu de la même manière. Or là il y a un moins et là il y a un plus. Donc la première chose à faire c'est d'utiliser la propriété du sinus qui est impaire. En plus ça fait intervenir ici un moins et on a bien les k dans le même sens. Et là ça y est, on y est presque. On fait juste apparaître le k plus 1 moins la fonction en k. Et donc on a bien la somme pour k allant de 0 à n de sinus k plus 1 x moins x sur 2 moins sinus de k x moins x sur 2. Et donc ça y est, on a d'après le principe des sommes télescopiques, puisque c'est clairement ici une fonction de k plus 1 moins une fonction de k. Donc on a la fonction évaluée en n plus 1, sinus de nx plus x sur 2, j'ai développé, moins le sinus pour k étant égal à 0. Donc sinus de 2 moins x sur 2, on fait sortir le moins, ça nous donne donc sinus nx plus x sur 2 plus sinus de x sur 2. Maintenant on veut nous obtenir Sn. Donc on est tenté de faire quoi? Diviser par ceci. Or attention, ce sont des sinus dont toutes les fonctions trigonométriques peuvent valoir 0. Donc il faut faire attention quand on divise par ces fonctions. En développant, on fait apparaître ici un petit sinus de x sur 2 et cosinus de x sur 2 qui vont être plus jolis après. Et donc là on fait la disjonction de k suivant le fait que sinus de x sur 2 est nul ou non. Alors pour x qui est congru à 0 modulo 2pi, et bien Sn, c'est la somme pour k allant de 0 à n des cos kx. Et donc dans ce cas là précis, et bien au final on se retrouve avec la somme pour k allant de 0 à n des 1, puisque le cosinus de kx vaut toujours 1. Donc au final si x est congru à 0 modulo 2pi, Sn vaut, bon la somme pour k allant de 0 à n des 1, c'est n plus 1. Donc c'est bon, on s'est débarrassé du cas où sinus de x sur 2 valait 0. On peut passer aux choses sérieuses. Si x n'est pas congru à 0 modulo 2pi, et bien on divise par 2 sinus de x sur 2 et puis on obtient Sn qui vaut 1 demi de sinus de nx tangente de x sur 2 plus cosinus de nx plus 1. Nous avons répondu à la question. Alors ensuite on demande d'évaluer la somme pour k allant de 0 à n de cos2 de kx et la somme des sin2 de kx. Bon, on a évalué autour d'avant un cosinus kx, on demande le cos2, bon normalement ça devient de manière plutôt rapide, ce note Sn qui vaut la somme pour 0 à n, et bien on sait qu'on peut se ramener à une expression ne faisant pas intervenir de carré, bien sûr en doublant le coefficient. D'ailleurs c'est un 2kx, pardon, ici j'ai oublié de rajouter le k. Peu importe, c'est donc 1 demi de la somme pour k allant de 0 à n des cos2 kx plus la somme pour k allant de 0 à n des 1. Bon maintenant, que ce soit 2kx ou que ce soit kx, de toute façon x est un réel quelconque, donc au final cette somme là c'est exactement Sn. Donc c'est 1 demi de Sn plus n plus 1. Et donc on peut en déduire la somme Cn en faisant la même disjonction de k, juste ici. Allez, je vous l'ai dit, pour le plaisir. Si x est congru à 0 modulé de pi, Cn est égal à n plus 1. Très bien, en effet on retrouvait une somme de 1. Et si x n'est pas congru à 0 modulé de pi, Cn vaut 1 quart de sinus nx tangente x sur 2 plus cos nx plus 2n plus 3. Ok, maintenant on cherche à évaluer In, c'est la somme des sin2 kx. Bon on vient juste avant de déterminer la somme des cos2, on avait déterminé la somme des cos, donc bon au final 1 moins les cos2. C'est donc n plus 1 moins Cn si on distribue la somme. Ok, et c'est donc 1 demi de n plus 1 moins Cn. Ah mince, j'ai remarqué qu'il y a un problème d'affichage. Alors est-ce que je vais pouvoir régler ça en temps réel? Tac, je vais relancer mon logiciel de recopie d'écran. Allez allez, on y va, hop! Ok, désolé pour la petite intermittence, c'est renu. Donc je vous disais, on obtient donc In qui est égal à 1 demi de n plus 1 moins Sn. Et de la même manière, on fait la digestion de cas, pardon. Si x est congru à 0 module de 2pi, In maintenant vaut 0. Et puis si x est congru à 0 module de 2pi, n'est pas congru pardon, In vaut un quart de 2n plus 1 moins sin2nx tangente de x sur 2, d'ailleurs ici c'est un moins pardon, moins cos2nx. Voilà, c'est la fin de cette résolution d'exercice, donc très très important. Je trouve que c'est un exercice vraiment très formateur à bien retenir sur la manière dont on manipule les différentes sommes de Cosmus. Voilà, ne pas se formaliser et ne pas oublier aussi les digestion de cas, qui sont très importantes lorsqu'on divise des fonctions trigonométriques. Merci beaucoup d'avoir suivi cette vidéo et maintenant je vous dis à bientôt!

Sommes trigonométriques

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