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Dans cette vidéo, Mathijs de studio compare deux approches mathématiques : algébrique et trigonométrique pour résoudre une équation complexe. En utilisant des formules, il calcule la tangente de 3θ en fonction de la tangente de θ. Ensuite, il résout l'équation en utilisant une méthode algébrique qui factorise le polynôme et une méthode trigonométrique qui identifie les racines en utilisant la tangente. Il explique également que la tangente est une fonction bijective de -π/2 à π/2 et que chaque élément a un antécédent sur cette plage. Enfin, il conclut que les deux approches donnent le même ensemble de solutions, mais la méthode trigonométrique est plus élégante.

Bonjour à tous, c'est Mathijs de studio. Dans cette vidéo, on va confronter deux approches, l'une algébrique, l'autre trigonométrique. Alors, A étant un réel distinct de 1 sur racine de 3 et moins 1 sur racine de 3, on demande de calculer dans un premier temps tangente de 3θ en fonction de tangente θ. Alors là, c'est vraiment un calcul un peu bourrin, on ne connaît pas grand chose de tangente d'un angle, à part quelques formules, voilà, de tangente 2θ, bon on sait que en découpant petit à petit on va pouvoir y arriver, donc il faut juste mettre les mains dans le cambouis et puis y aller. Alors tangente, tout d'abord, quand est-ce que tangente de 3θ existe? Eh bien, quand 3θ n'est pas congru à π sur 2 modulo π, donc au final on en retire, l'intervalle que l'on va considérer c'est r privé de π sur 6 plus k fois π sur 3, k appartenant à z. Donc là, à ce moment-là, tangente de 3θ c'est égal à tangente de 2θ plus θ. Donc c'est parti, on sait que tangente A plus B c'est tangente A plus tangente B divisé par 1 moins tangente A tangente B. Ok, donc maintenant on applique ça à la formule de tangente 3θ, et puis on se retrouve avec du tangente de 2θ, donc re-belote, on refait la même opération pour θ plus θ. On obtient cette expression, et puis au final on met tout sur le même dénominateur, ça nous donne quoi? Ça nous donne 3 tangente de 2θ moins tangente au cube de θ sur 1 moins tangente carrée θ, c'était le numérateur, et puis le dénominateur en passant à l'inverse, c'est fois 1 moins tangente carrée θ sur 1 moins 3 tangente carrée θ. Donc au final, on a notre expression, pour θ appartenant à r privé de l'ensemble des angles pour lesquels tangente 3θ n'existe pas, et bien tangente 3θ c'est égal à 3 tangente θ moins tangente de θ au cube, le tout divisé par 1 moins 3 tangente carrée θ. On a bien exprimé, tangente 3θ en fonction de tangente θ. Ensuite on demande de résoudre dans R, l'équation justement on y arrive, 3x moins x cube le tout divisé par 1 moins 3x carrée, qui est égal à 3a moins a au cube, 1 moins 3a carrée, a étant le réel défini précédemment. On trouvera deux méthodes, l'une algébrique, et l'autre utilisant la formule de trigonometrie établie en 1. En effet on trouve une formule très proche de ce qu'on a trouvé. La première algébrique, si on était en terminale et qu'on vous demandait de résoudre ça, pas de question à se poser, c'est une équation de polynôme. En effet, elle joue juste le rôle de paramètre, ce n'est pas une inconnue. Donc, c'est égal, si et seulement si, on isole les différentes puissances de x, et puis on va essayer de déterminer les racines de ce polynôme. Alors, il y a une racine qui est en fait évidente, c'est a. A, si l'on regarde ici, évidemment qu'elle vérifie cette équation, donc on peut factoriser par x moins 1. Et lorsqu'on factorise par x moins 1, donc il y a une petite étape de calcul, eh bien on trouve un polynôme du second degré qui est 3a carrée moins 1x carrée plus 8ax moins a carrée plus 3, qui est en facteur. Alors maintenant, quand est-ce que ça vaut 0? Eh bien, on établit le discriminant, qui est strictement positif d'ailleurs, donc il y a deux racines réelles, et c'est égal à 2 racines de 3 a carrée plus 1, le tout au carré. Donc on peut directement prendre la racine. Les deux racines, les voici. Donc, moins 4a moins racine de 3 a carrée plus 1, le tout divisé par 3 a carrée moins 1, et ça conjugue. Enfin, on n'est pas en complexe, mais vous avez compris. Donc finalement, les racines de ce polynôme sont les solutions de l'équation que l'on cherchait, et donc c'est a, 4a plus racine de 3 a carrée plus 1 sur 1 moins 3 a carrée, et 4a moins racine de 3 a carrée plus 1 divisé par 1 moins 3 a carrée. C'est la fin de la résolution algérique. Ensuite, on va utiliser la formule que l'on a trouvée précédemment. Donc si on cherche à identifier, ici, x joue le rôle de tangent de théta. Donc on aimerait remplacer x par tangent de théta, mais attention, x peut être sur r tout entier. Donc est-ce que tangent de théta peut vraiment décrire tout r? Eh bien oui, en effet, tangent de théta est bijective de moins pi sur 2 à pi sur 2 vers r. Donc chaque élément de r a un antécédent sur moins pi sur 2, pi sur 2. Donc on peut poser théta tel que tangent de théta est égal à x, et de même phi tel que tangent de phi est égal à a. Et donc, à ce moment-là, on regarde cette équation, elle est équivalente à quoi? Elle est équivalente à 3 tangent de théta moins tangent au cube de théta sur 1 moins 3 tangent de carré théta, qui est égal à 3 tangent de phi moins tangent au cube de phi sur 1 moins 3 tangent de carré phi. Et d'après le calcul effectué en question 1, c'est exactement équivalent à tangent de 3 théta qui est égal à tangent de 3 phi. Maintenant, on a dit... En fait, on retrouve une équation trigonometrique très classique, sachant que phi n'est pas une inconnue, c'est une donnée, c'est un paramètre. Et donc, à ce moment-là, tangent a est égal à tangent b, si et seulement si a est égal à b, ou a est égal à b plus pi. Donc on a dit que 3 théta est égal à 3 phi plus kpi, k appartenant à z, bien sûr, et donc que théta c'est phi plus k fois pi sur 3. Et donc maintenant, nous ne séparons pas exactement les solutions de théta qui nous intéressent, c'est les solutions de x. x, on l'a posé comme étant tangent théta. Donc on a une étape à faire, on a à composer par tangente. Alors, il y a plusieurs cas possibles. Soit k est égal à 0. À ce moment-là, x est égal à tangent phi, et tangent phi, on l'a posé, c'est a. Ensuite, k peut aussi valoir 1. À ce moment-là, x est égal à tangent phi plus pi sur 3. Ensuite, on a déjà utilisé la formule de tangent a plus b, et on en déduit par une suite de calculs. On retrouve la racine qu'on avait déterminée précédemment, c'est 4a plus racine de 3 à carré plus 1, le tout divisé par 1 moins 3 à carré. Et finalement, k peut aussi valoir moins 1, et à ce moment-là, on tombe sur tangent de phi moins pi sur 3, et on tombe sur la deuxième racine. À partir de là, on pourrait choisir des valeurs de k différentes, on peut choisir par exemple k égale 3, on tombe sur phi plus pi, donc c'est exactement tangent de phi, c'est la même chose. Et en fait, on se rend compte qu'avec k égale 0, 1 et moins 1, on a décrit l'ensemble des solutions possibles différentes. Donc, on en conclut, et heureusement, le même ensemble de solutions, qui est composé de ces trois solutions-là. Donc voilà, c'est la fin de cet exercice qui mettait en concurrence une approche algébrique et trigonométrique. L'approche trigonométrique, je la trouve un peu plus élégante, si on connaît l'une ou l'autre, ça suffit pour résoudre un exercice. Qu'est-ce qu'il faut retenir de tout ça? Bien plein de choses, bien sûr, mais la manière pour factoriser le polynôme est plutôt intéressante. Le travail sur les tangentes est quelque chose d'assez individuel, donc on en profite pour l'apprendre, et puis le fait que la tangente soit objectif, c'est aussi quelque chose de pas très habituel, donc on révise bien cette méthode. Merci beaucoup d'avoir suivi cette vidéo, et maintenant je vous dis à bientôt!

Autour de la tangente

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