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Complexes : Formes trigo, expo

Dans cette vidéo, Paul explique un exercice qui implique le calcul d'un produit de ω et k, pour k allant de 0 à n-1. Il montre que ce produit est égal à a-1 puissance n-1 avec les ω égales E2i pi sur n. Paul explique que les racines n° de l'unité, ω0, ω1, ω2 jusqu'à ωn-1, ainsi que la somme des racines n° de l'unité peuvent être utiles dans ce calcul. Il souligne également l'utilisation de la formule qui dit qu'un produit d'exponentielles s'égale à l'exponentielle de la somme. En remplaçant ωk par sa valeur exponentielle de 2ikπ sur n, on obtient eipi puissance n-1 qui est égal à -1. Le résultat attendu est donc confirmé.

Salut c'est Paul, on se retrouve pour une petite vidéo sur les complexes pour un exercice un peu approfondi mais on va voir assez rapide. L'exercice consiste à calculer un produit des ω et k pour k allant de 0 à n-1 et de montrer qu'il est égal à a-1 puissance n-1 avec en disant les ω égales E2i pi sur n pour n supérieur ou égal à 2. Les premières idées qui me viennent à l'esprit comme ça là c'est direct racine de l'unité, ω2i pi sur n, les racines de l'unité. Les racines n° de l'unité je vous rappelle c'est ω0, ω1, ω2 jusqu'à ωn-1. Il y a aussi le fait que la somme soit égale à 0, la somme des racines n° de l'unité, peut-être que ça va être là on a un produit, peut-être que la somme aura quelque chose à voir là-dedans. On a aussi le fait que –1 puissance n-1 s'égale à plus ou moins 1 selon la parité de n. Peut-être regrouper les termes pairs ou impairs ensemble. Quand une somme est produite comme ça, les termes pairs se comportent différemment des termes impairs et ça peut être utile de séparer en deux produits ou deux sommes. Finalement, on a les ω qui sont sous forme exponentielle. Ce que ça me fait penser, on a un produit et la formule qui dit qu'un produit d'exponentielle s'égale à l'exponentielle de la somme. Ça, ça va pouvoir peut-être nous ramener sur un truc comme ça. On verra que c'est bien ça qui va nous être utile. On commence. On a notre produit et on va remplacer ωk par sa valeur exponentielle de 2ikπ sur n. On intervertit le produit et la somme. On rentre le produit dans l'exponentielle qui se transforme en somme. Ça fait l'exponentielle de 2ipi sur n, somme pour k allant de 0 à n-1 de k. Là, j'ai mis en facteur tout ce qui ne dépendait pas de k de la somme. Après, nous avons la somme des entiers de 0 à n-1. Cette somme est égale à nn-1 sur 2. Il faut le savoir, la somme des entiers d'un nombre à un autre, il faut la connaître. Maintenant, on calcule. Les n se simplifient et on a eipi puissance n-1. Sauf que eipi, c'est quoi? C'est moins 1. On a le résultat à escompter. On entoure et c'est fini. Voilà, à plus!

Produit des racines de l'unité

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