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Complexes : Formes trigo, expo

Dans ce cours, Paul explique une méthode avancée pour résoudre des équations complexes. Il utilise une équation classique à résoudre pour trouver des racines d'une équation complexe. Ensuite, il prouve que les affixes de ces racines sont alignées en utilisant deux cas : la droite qui passe par l'origine et la droite qui ne passe pas par l'origine. On utilise la technique de l'angle moitié pour prouver que toutes les affixes des complexes sont alignées sur une droite décalée de alpha sur 2.

Salut c'est Paul et on se retrouve sur une petite vidéo sur un exercice sur les complexes, sur une méthode un peu plus avancée qui pioche un peu dans toutes les méthodes qu'on a vu jusqu'à présent. Ok, c'est parti! Donc on va déjà poser nos idées à plat et les rédoncer. Donc, soit A un nombre complexe de module 1, Z1 et Zn les racines de l'équation Zn égale A, donc les racines, les solutions, il faut comprendre. Montrer que les points du plan complexe dont les affines sont 1 plus Z1 puissance N jusqu'à 1 plus Zn puissance N sont alignés. Donc, déjà la première équation Zn égale A, ça c'est une équation classique à résoudre, il faut faire passer le A dessous, mettre une puissance 1 sur N, le mettre sous la puissance N justement, égal à 1 et utiliser nos connaissances sur les racines de l'unité pour résoudre l'équation très très rapidement, ok, en fonction de A. Maintenant, prouver que les affixes sont alignés, donc les affixes c'est la représentation d'un complexe dans le plan. On a deux cas, un cas simple où les affixes sont alignés sur une droite qui passe par l'origine, et donc là il faut prouver que leurs arguments sont égaux modulo pi, parce que leurs arguments sont soit égaux ici, soit égaux modulo pi, parce qu'ils sont de l'autre côté. Donc après, le deuxième cas c'est quand cette droite là sur laquelle ils sont alignés, les points ne passent pas par l'origine. Donc là leurs arguments ne sont pas égaux, mais c'est l'argument de Z1-Z2 et Z1-Z3 ici qui est égal. Donc il va falloir tester ce genre de choses pour une sorte de généralisation de cette formule pour N. C'est un peu plus compliqué, un peu plus long en calcul. Donc on va essayer de voir si on n'est pas dans le cas 1. Donc c'est parti! On pose déjà l'argument de A, ainsi A égale EI alpha, parce que A est un nombre de modules 1. Et on a ZN puissance N égale A. Et maintenant on résout comme on l'a dit. On passe A dans la puissance de N et on a égale à 1. On résout, ça veut dire qu'il existe un cas appartenant de 1 à N tel que Z égale ZK. Donc on les nomme, on nomme les Z, les solutions. Et qui est égal à E2iKpi sur N plus I alpha sur N. Donc ça c'est la partie qui vient des racines NM de l'unité, donc la résolution de l'équation A puissance N égale 1. Et le plus I alpha sur N c'est quand on repasse cette partie dans la parenthèse de l'autre côté une fois qu'on a enlevé le N. Maintenant on a les ZK et on prend un K dans 1N. Et on déplicite ce que c'est ZK plus 1 puissance N, parce que c'est ces nombres qui nous intéressent finalement. Et ça c'est 1 plus E2Kpi plus alpha sur N. Donc là on va écrire ce qu'on a appris des ZK. Et là, il faut utiliser la technique de l'angle moitié. Le N ne nous gêne pas, il ne faudra pas oublier de répercuter le N à chaque fois qu'on sort quelque chose de la parenthèse. Donc là on a notre angle moitié bien sûr à la puissance N, sinon il y aurait un N en bas là qui n'y est pas. Parce qu'il a été éliminé par cette puissance N. Et notre 2 cos angle moitié aussi Kpi sur N plus alpha sur 2N. Notre angle moitié qui a des puissances N toujours, ne pas oublier la puissance N. Maintenant on a l'argument de ce nombre qui est égal à alpha sur 2 modulo pi. Voilà parce qu'on a plus Kpi et l'argument de ce nombre qui est un nombre réel qui est égal à 0 modulo pi. Il est égal à soit 0 soit pi donc 0 modulo pi. Ainsi l'argument de ZK plus 1 puissance N est égal à alpha sur 2 modulo pi. C'est modulo pi qui nous intéresse comme on avait dit dans le premier cas. Donc tous les arguments sont égaux, donc toutes les affixes de ces complexes, quels que soient cas, on a prouvé pour un cas particulier, pour un cas au hasard. Donc toutes les affixes des complexes sont alignées. Elles sont alignées sur la droite orientée par rapport à l'origine et décalée de alpha sur 2. Voilà ce sera tout pour aujourd'hui, au revoir!

Alignement de points

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