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Complexes : Formes trigo, expo

Le cours explique l'utilisation des nombres complexes dans le calcul de sommes, notamment avec les fonctions trigonométriques. Pour calculer les sommes, l'orateur utilise la méthode du binôme de Newton et la somme des termes d'une suite géométrique. Il rappelle également l'utilisation des parties réelles et imaginaires pour bien séparer les sommes. La dernière question aborde un cas où il faut d'abord calculer dn en fonction de n et le remplacer ensuite par k, sans oublier de remplacer tous les n par les k. Enfin, l'orateur souligne que les complexes sont indispensables dans le calcul des sommes avec des fonctions trigonométriques pour éviter les erreurs.

Salut c'est Paul, on se retrouve sur une petite vidéo sur les nombres complexes et leur utilisation dans les sommes, donc un exercice un peu plus avancé mais qui est tout de même fondamental. Le petit exercice c'est calculer des sommes et donc on a d'abord des sommes avec un coefficient binomial et des cosinus. Donc là on voit une somme avec un coefficient binomial à binom de newton. Pour faire le binom de newton il faut faire apparaître des puissances avec des k et des n mais une façon de le faire c'est de dire que cosinus kx c'est la partie réelle de exponentielle ikx. Et là on a la puissance de k donc ça c'est là où les complexes rentrent en jeu. Donc la deuxième somme on a s et t donc deux sommes dans la même question, ça ça intrigue un peu, et on a cosinus et sinus. Donc là cosinus a partie réelle sinus partie imaginaire. Donc l'idée c'est de faire s plus it donc cosinus kx plus i sinus ky qui est égal à eix, le tout, puissance k. Et après on utilise la somme des termes de suite géométrique peut-être. Et donc la troisième question ce sera sûrement un mix des deux autres questions. C'est parti. Donc ce que je disais c'est que la méthode avec les fonctions trigonométriques, les sommes avec les fonctions trigonométriques c'est plus facile, c'est même impossible quasiment de les faire sans passer par les complexes. Sinon vous allez vous empêtrer les pieds avec des formules trigonométriques où vous passez par les complexes. Donc on va le voir très vite avec la première question. Donc comme j'ai dit la somme et on la réécrit comme la partie réelle de la somme, pareil mais à la base du cosinus on a eix plus ky. Maintenant on va réécrire ça sans s'emboîter avec la partie réelle, on la remettra à la fin. Donc notre but c'est de faire apparaître la partie réelle dans ça et supprimer la somme. Donc on factorise par tout ce qui ne dépend pas de k et là on fait apparaître la puissance de k pour justement le binôme 1. Sauf que le binôme, comme on l'a vu là, ici il y a un petit rappel à connaître par cœur évidemment la formule du binôme de Newton, là on a un y puissance n-k, là on n'a pas de y, on n'a que un x puissance k. Mais en fait ce y ça peut tout simplement être un 1 puissance n-k. Donc maintenant on peut appliquer notre binôme, eix, et là on a 1 plus eiy donc ça là c'est direct, angle moitié formule de l'air, c'est égal à 2 puissance n cos puissance n y sur 2. Et là donc la seule petite différence, on n'a pas le n là c'est facile, là c'est direct, eiy sur 2, 2 cosinus y sur 2, là on a la puissance n donc il vient rajouter un n ici dans l'exponentiel, un n à la puissance du 2 et un n à la puissance du cosinus. Ok maintenant on a notre résultat et on peut prendre la partie réelle de cette chose et notre somme est égale à cosinus x plus n y sur 2 donc la partie réelle de cette exponentielle, 2 puissance n cos puissance n y sur 2. On a le cadre et on passe à la seconde question. Ok donc la seconde question on a s et t et comme on disait l'astuce c'est de prendre s plus it. Mais d'abord on a cette x différente de pi sur 2 plus kpi alors ça sert à ce que les sommes soient définies pour que le cosinus soit non nul. Voilà on peut l'écrire comme ça on montre qu'on a bien compris l'énoncé, x est différente de pi sur 2 plus kpi donc ça veut dire que cosinus est différent de 0 donc les sommes sont bien définies et on peut les écrire. Donc s plus it et là on dit tout de suite s plus it c'est égal à, comme on l'a vu, cosinus plus i sinus eix on met le cas directement en puissance, on a puissance k ici et on a un k dans l'exponentiel donc on peut le mettre à la puissance et là c'est la somme des termes d'une suite géométrique. Mais avant d'utiliser la formule des sommes des termes d'une suite géométrique il faut vérifier que la raison ici soit différente de 1. Donc c'est ce que j'ai rappelé là. On traite le cas à part où cette raison est égale à 1 parce que c'est un cas très simple à traiter c'est juste que la formule ne s'applique pas. En fait c'est un cas où on n'a pas vraiment besoin de la formule mais on doit quand même le traiter à part. Donc quand x est conclu à 0 modulo 2pi, ça veut dire quand ce x ici est conclu à 0 donc quand ça c'est égal à 1, nous avons x conclu à 0 modulo 2pi, s égale n plus 1 est égal à 0. Voilà très simple à calculer. Sinon la raison est bien différente de 1 et on peut appliquer la formule des n premiers termes d'une suite géométrique et s plus it est égal à cos x sur cos 2x. Donc ça c'est la raison puissance le nombre de termes moins 1 sur la raison moins 1. Il y a aussi normalement x le premier terme mais ici comme le premier terme est puissant de 0, le premier terme est égal à 1 donc c'est comme s'il n'y était pas. Mais il faut bien se rappeler que dans la formule il y est. Donc on simplifie, on fait apparaître de la tangente en bas, on met la tangente ici devant, c'est plus simple que de se trimballer la grande barre de fraction ici. Là j'ai transformé le 1 sur i en moins i parce que 1 sur i est égal à moins i, vous pourrez vérifier, ça c'est bien à connaître. Et là le but c'est de faire apparaître partie réelle partie imaginaire pour bien séparer s et t parce que là c'est bien ce qu'on voulait à la base. Donc on sépare cette exponentielle en partie réelle partie imaginaire, le moins 1 et maintenant on a s qui est égal à la partie réelle de cette chose, sinus n plus 1 x sur tangente x cosinus n plus 1 x et t. On encadre et on passe à la question suivante. La question suivante, on a d'abord dn et après on a kn et on a un dk. Donc ça veut dire qu'il va falloir d'abord calculer dn en fonction de n et après il va falloir l'injecter dans ce cas n ici en remplaçant tous les n par les k. Il ne faut pas oublier de remplacer tous les n par les k parce que c'est très facile d'en oublier un et que tout soit faux. D'oublier un n, de laisser un n comme ça et que tout le résultat soit faux. Donc à ne pas oublier. Donc on calcule d'abord dn. Alors dn c'est la somme des termes d'une suite géométrique alors sauf que le premier terme ici commence à moins n. Donc toujours raison puissance nombre de termes moins 1, raison sur raison moins 1 et fois le premier terme ici qui n'est pas égal à 1. Car il est souvent égal à 1 parce que k est souvent égal à 0 ici mais quand ce n'est pas le cas il faut bien le noter. Maintenant on utilise en haut et en bas l'angle moitié plus les formules de l'air. Donc là on a un moins ce qui nous fait apparaître du 2i sinus. Pareil en bas 2i sinus et après dans ces cas là où on a, comment dire, c'est souvent le cas en fait ça va simplifier ici plus ou moins vous allez voir car on a utilisé une formule de type somme de suite géométrique. Donc là on va obtenir des choses similaires, des exponentiels similaires en fait parce qu'on a la même raison et ça va simplifier assez bien. Voilà comme vous voyez donc on a dn d'égal à sin x 2n plus 1 sur 2 sur sin x sur 2. Maintenant on passe à kn. Alors il faut bien remplacer tous les n du 2dn. Donc là il y en a un seul, ça va. Par des cas, il ne faut pas oublier parce que ça peut être source de grosses erreurs. Maintenant on fait comme un peu dans la question 1, on dit que ce sinus c'est la partie imaginaire de eix sur 2 plus kx. Et là on isole tout ce qui ne dépend pas de k ici. Donc là je l'ai mis en toute cette partie là qui ne dépend pas de k. Je l'ai isolé ici. Maintenant c'est la somme ici de termes d'une suite géométrique. Toujours pareil, on utilise l'angle moitié et les formules de l'air. Là j'ai directement simplifié les deux i. On simplifie les exponentiels et on a kn qui est égal à 1. On prend la partie imaginaire de ça et on obtient le résultat. Voilà!

Sommes trigonométriques

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