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Complexes : Equations & polynômes

Dans cette vidéo, Paul explique comment résoudre des équations du second degré à coefficients complexes, ainsi que des équations qui s'en rapprochent. Pour la première équation, la technique est similaire à la résolution d'une équation réelle, en trouvant les valeurs de Z1 et Z2. Pour la deuxième équation, qui est déguisée en une équation du second degré, Paul pose X = Z3 et résout l'équation pour trouver les solutions de X. Ensuite, il résout l'équation E1 pour trouver les solutions de Z3, en utilisant la racine 1ème de l'unité. Au final, il obtient 6 solutions qui correspondent au polynôme initial de degrés 6.

Salut c'est Paul et bienvenue dans cette nouvelle vidéo sur les complexes et plus particulièrement sur comment résoudre des équations du second degré à coefficients complexes et des équations qui s'y assimilent. C'est parti. Donc la première équation c'est une équation classique du second degré à coefficients complexes comme je l'ai dit. La technique pour résoudre ces équations c'est quasiment pareil qu'avec l'équation réelle. Donc si on prend ABC des complexes et les solutions de l'équation AZ² plus BZ plus C égal à 0 dans C sont Z1 égale moins B moins petit delta sur 2A, Z2 égale moins B plus petit delta sur 2A avec delta carré égale B carré moins 4AC. Donc delta c'est une des racines carrées de delta, de grand delta, le déterminant ici. Donc c'est parti. On calcule le déterminant qui est égal à moins 1 ici pour notre équation et une racine carrée de delta. Donc ici la racine carrée parce que le déterminant est réel qui est I et les solutions de l'équation sont donc Z1 égale 1 plus I, Z2 égale 1 plus 2I. On encadre et c'est fini. Maintenant la deuxième équation. En fait c'est une équation qui est une équation du second degré déguisée parce qu'en fait si on l'appelle E1 d'abord parce qu'il va y avoir une deuxième équation, vous verrez pourquoi. On pose X égale Z3 et l'équation en X, donc E2, c'est une équation du second degré. Vous voyez là c'est Z3 au carré Z3. On a X au carré X et l'équation se transforme en équation du second degré. Cette équation on la résout. Delta delta égale moins 15 moins 8I. Donc là c'est un peu plus compliqué pour trouver la racine carrée, c'est moins évident que grand delta est égale à moins 1. Donc la technique c'est on cherche une racine carrée, on pose petit delta égale A plus IB. Et delta carré égale grand delta, c'est équivalent à le fait que delta carré est égale delta et que le module de delta carré est égal au module de delta au carré. Donc petit delta est égal au module de grand delta. On écrit ce que ça veut dire avec A plus IB. Et on expliquite ce que cela veut dire ici. Donc ici partie imaginaire, donc partie réelle de A plus IB au carré, moins 15, égale moins 15 moins 8I. Ici partie réelle et partie imaginaire sont égales. Donc cette équation nous a donné deux équations sur la partie imaginaire et la partie réelle. Et à partir de cette équation on calcule facilement A carré et 2 AB et on obtient A égale à 1, soit A égale à 1 et B égale à moins 4, soit A égale à moins 1 et B égale à 4. Ainsi on a les deux racines. Donc les solutions E2 sont X1 égale 1 moins I et X2 égale 3I. Maintenant nous avons les solutions pour l'équation E2. Maintenant on veut les solutions pour l'équation E1. Donc on a les solutions pour X et on veut les solutions pour Z. Il faut résoudre l'équation maintenant. Z3, donc X égale à Z3. Donc E1 est équivalent à Z3 égale 1 moins I ou Z3 égale 3I. On écrit sous forme exponentielle parce que ici on voit que ça va être une équation du type Z puissance quelque chose égale à 1. Donc on va utiliser la racine 1ème de l'unité. On résout parallèlement, on passe les chiffres à droite de l'autre côté pour faire apparaître 1,1. Et là c'est une résolution classique d'équation un complexe à une puissance égale à 1. Je ne vous détaille pas trop, c'est à savoir que la résolution de la résolution de la quantité de E, c'est de pouvoir faire ainsi le ensemble des solutions de l'équation et l'union de ces deux ensembles. Deux puissance 1 sixième E, 2IKpi sur 3 plus Ipi sur 12 qui appartenaient de 0 à 2 union 3E puissance 1 tiers E, 2IKpi sur 3 plus Ipi sur 6 qui appartenait de 0 à 2. Ainsi, là on a 3 solutions et 3 solutions. On a bien 6 solutions, ce qui est cohérent avec le fait qu'on avait un polynôme à la à la base de degrés 6. Ok, on encadre. Et c'est fini. A plus!

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