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Complexes : Equations & polynômes

Dans cette vidéo, Paul explore le lien entre les nombres complexes et la géométrie, en se concentrant sur un pentagone inscrit dans un cercle unité. Il commence par donner les affixes des sommets du pentagone, qui sont les racines 5ème de l'unité. Il montre ensuite que la somme de ces affixes est égale à 0. En utilisant cette propriété, il déduit que le cosinus de 2π/5 est une solution d'une équation et calcule sa valeur. Il calcule également des longueurs en utilisant les formules trigonométriques et remarque que cos(π/10) est égal à cos(2π/5). Ensuite, il résout un problème de géométrie en calculant la longueur BI plus la longueur IJ. Enfin, il explique comment construire un pentagone régulier à l'aide d'un cercle et de symétries.

Salut c'est Paul, on se retrouve dans une nouvelle vidéo qui va explorer de manière plus approfondie le lien entre nombre complexe et géométrie. Ok c'est parti. Donc c'est un exercice qui va travailler sur un pentagone ici, inscrit dans le cercle unité ici. Donc avec i ici et 1 ici. Et la première question c'est on va devoir donner les affixes ω0 et ω4 des sommets du polygone. Et après montrer que la somme de ces affixes est égale à 0. Donc déjà là direct, ça c'est les racines 5ème de l'unité. Vous voyez ce polygone, comment il est agencé, c'est les racines 5ème de l'unité. Et on sait bien que la somme des racines 5ème de l'unité fait 0. Donc ça, ça va être facile. Après on en parle d'en déduire que cosinus 2pi sur 5 est une des solutions de l'équation 4z² plus 2z moins 1 égale à 0. Et on déduit la valeur de cosinus 2pi sur 5. Donc là, il va sûrement falloir calculer les racines de l'équation ici et ça va donner la valeur. Et en disant que cosinus est racine, ça va nous donner cette valeur de cosinus 2pi sur 5. Et après pour savoir si cosinus 2pi sur 5 est solution de cette équation, ça va être, je pense, d'essayer d'arriver à réutiliser ça. De faire apparaître cette somme là, parce qu'on avait une somme égale à 0. On a en déduire et on va montrer que quelque chose est égal à 0. Puisque cosinus 2pi sur 5, c'est la partie réelle de oméga 1. Donc ça va, il y a sûrement un lien. Et on va avoir des cosinus carrés. Donc on va utiliser la formule qui dit que cosinus carré de a est égal à 1 plus cos2a sur 2. Cette formule là, très très importante. Après pour la question 3, ça va être de calculer des longueurs en fonction de sinus et de racine de 5. Et on remarquera que ça va être sûrement des formules avec des cosinus et des sinus. Avec les formules de trigonométrie. Et une longueur, je rappelle que c'est une longueur ab. Une longueur ab, c'est le module de l'affix de a moins l'affix de b. Ab, c'est le module du nombre complexe zA et zB. Si a est l'affix de zA et b est l'affix de zB. Et après, on a une question 4 un peu similaire avec de la géométrie. Là ça va être des applications des questions précédentes. Et la question 5 qui va être une application de tout ce qu'on a su jusqu'à présent pour essayer de construire ce pentagone. On va commencer. La question 1, donnez les affixes ω0, ω4 des points a0, a4. On utilise le fait que a0, a4 est un pentagone régulier de centre haut. Et donc ça nous dit que tous ces rayons sont égales à 1 par rapport à son centre. Et que chaque angle entre a0 et a4 est égal à 2kpi sur 5. Donc on divise le cercle en 5 pour a0, a4. Donc on a les affixes parce qu'on a leur module et leur argument. Donc ωk est égal à 2i kpi sur 5. Et donc c'est bien égal à ω1 puissance k. Parce que par annotation, simplement. Donc là on a bien que les ωk c'est les racines 5ème de l'unité. On passe à la suite. Et là on veut prouver que cette somme est égale à 0. On le sait si la somme des racines 5ème de l'unité est égale à 0. Donc des racines 1ème de l'unité en règle générale. Mais on peut le reprouver facilement puisqu'on nous demande de le prouver. C'est la somme des termes d'une suite géométrique. Et avec la raison qui est différente de 1. Donc 1-ω1 puissance 5 sur 1-ω1. ω1 puissance 5 par définition c'est égal à 1. Donc la somme est égale à 0. Et donc c'est ça, la somme des racines 1ème de l'unité est égale à 0. Donc si on ne nous demande pas de le reprouver, on peut le dire directement. Alors, pour la question 2, on nous demande d'en déduire. Donc on va utiliser le résultat précédent. Que cos 2π sur 5 est l'une des solutions de l'équation 4z² plus 2z moins 1 égale à 0. Et en déduire la valeur de cos 2π sur 5. D'abord on va faire la première partie de la question. On va réécrire, on va calculer A qui est égale à A en remplaçant z par cos 2π sur 5. Et on va bien vérifier que c'est égal à 0. On va utiliser le fait que cos²A c'est égal à 1 plus cos2A sur 2. Pour faire supprimer ce carré de cosinus là. Et là on a 2cos4π sur 5 plus 2cos2π sur 5. Donc comme j'avais dit dans la préparation, cos2π sur 5 c'est la partie réelle de ω1. Et cos4π sur 5 c'est la partie réelle de ω2. Donc on écrit 2 parties réelles d'ω2, 2 parties réelles d'ω1. Et en fait il y a une formule que vous devez connaître aussi. C'est que 2 fois la partie réelle c'est le nombre plus son conjugué. Donc on a ça. Et après on remarque que le conjugué d'ω2 c'est ω3 et le conjugué d'ω1 c'est ω4. On le voit de manière géométrique. Le conjugué d'ω1 c'est ω4 et le conjugué d'ω2 c'est ω3. Très bien, on recopie. Et donc d'après la question précédente c'est bien égal à 0. Ainsi on a bien que 4cos2π sur 5 plus 2cos2π sur 5 moins 1 est égal à 0. Ainsi cos2π sur 5 est bien la solution de l'équation qu'on voulait. On doit en déduire la valeur de cos2π sur 5. Pour ça on calcule différemment les solutions de l'équation. Et donc on calcule les solutions de l'équation. On calcule les solutions de l'équation avec delta égale à 20 et les deux racines. Or comme cos2π sur 5 est strictement supérieur à 0, il n'y a que la racine Z2 qui nous intéresse. Ainsi cos2π sur 5 est égal à racine de 5 moins 1 divisé par 4. La question 3 c'est on considère le point B d'afix moins 1 et calculer la longueur BA2 en fonction des sinus et des racines. Et on remarquera que cosπ sur 10 est égal à cos2π sur 5. Pour calculer la longueur d'un module, c'est plus simple de calculer le carré de ce module. Vous allez voir pourquoi. Comme ça, ça permet de ne pas strindaler la racine carrée partout. Donc BA2 au carré est égal à le nombre complexe associé à B, donc A2, moins le nombre complexe associé à B, donc moins 1. Et on calcule le carré de longueur. C'est toujours plus facile parce qu'on n'a pas besoin de se trimballer des racines carrées. On remplace par la valeur d'ω², cos4π sur 5 plus i sin4π sur 5 plus 1. Là, c'est plus simple de fonctionner avec les parties réelles et imaginaires plutôt qu'en notations exponentielles. Là, on a le carré, donc on n'a pas besoin de la racine carrée sur le tout. Là, on a le carré de cos4π sur 5 plus 1, donc 1 plus 2cos4π sur 5 plus cos4π sur 5 au carré. Plus le carré de la partie imaginaire, donc sin4π sur 5 au carré. Donc ça, c'est bien égal à 1 et on peut factoriser par 2. Or, là, on utilisait la formule qui permet de transformer 1cos2A en cosA au carré, donc ici, cos². Et on peut remarquer aussi que, comme on nous demandait de l'exprimer en fonction de sinπ sur 10, que cosA est égal à sinπ sur 2 moins A. Pour cette transformation, elle est à connaître aussi. Donc là, on a sinπ sur 10. On n'oublie pas de reprendre la racine carrée de la longueur. Et comme la longueur est positive, on n'a pas besoin, on n'a pas de deux valeurs. On ne prend que la valeur positive. Et donc, BA² est égal à 2sinπ sur 10, ici. Et après, on peut prendre la valeur de cos2π sur 5, ici, qu'on a calculée dans la question précédente, qui est racine de 5 moins 1 sur 2. Donc, voilà. On n'oublie pas de prendre, justement, la racine ici pour le résultat. Ainsi, on a la longueur recherchée. Donc, la question 4, maintenant. On considère un point I d'affix I sur 2, et le cercle C de rayon I, de centre I, de rayon 1 sur 2, et enfin le point J d'intersection de C avec la demi-droite BI, et calcule la longueur BI plus la longueur BI. Ok, bon, je ne sais pas vous, mais moi, je n'ai rien compris comme ça. Donc là, je vous conseille de faire un dessin. C'est ce que j'ai fait, ici. Donc, le cercle C, le point I et la demi-droite, ici, que j'ai représenté, que la partie qui nous intéresse, donc le segment BI. Et le point J, le point d'intersection. Là, ce n'est pas très clair, parce que le point d'intersection avec la demi-droite BI, il pourrait être, ici aussi, le point d'intersection. Donc, selon ce que l'exercice veut faire, ça m'a l'air plus cohérent que J soit ici. Donc, maintenant, on calcule la longueur BI. Donc, ils nous veulent calculer la longueur BI. La longueur BI, c'est l'affix de I, moins l'affix de B. Donc, I sur 2, moins 1. Donc, c'est racine de 5 sur 2. Et la longueur BI, c'est simplement la longueur BI, moins la longueur IJ, qui est le rayon du cercle, par définition. Donc, BI moins 1 demi, qui est égale à racine de 5, moins 1 sur 2. Donc, déjà, là, ça ressemble au cosinus qu'on avait calculé avant. Donc, BA2, c'est égale à racine de 5, moins 1 sur 2. Donc, il va sûrement y avoir quelque chose dans la question d'application. Donc, la question d'application, c'est dessiner un pentagone régulier à la règle et au compas. Et expliquer. Donc, voilà, expliquer. Il ne faut juste pas le dessiner, il faut expliquer comment on est arrivé. Donc, là, je vais vous l'expliquer à l'oral. Alors, on commence par un cercle. Donc, en fait, on va réutiliser ce qu'on avait fait avant. Donc, on prend un cercle de rayon 1. Et on retrace le point I. On refait un peu ce qu'on a fait avant. Parce qu'on se raccroche à ce qu'on a fait déjà. Parce que c'est en déduire, en application. Maintenant, on trace le point J. Et on remarque qu'en fait, la longueur BJ, ici, d'après la question 5, c'est égal à racine de 5 moins 1 sur 2. Mais c'est aussi égal, racine de 5 moins 1 sur 2, grâce à la question 3, à BA2. Donc, on peut tracer le cercle de centre B et de rayon BJ. Donc, de rayon racine de 5 moins 1 sur 2. Et ça nous donne la distance BA2 qui est égale à racine de 5 moins 1 sur 2. Ça nous permet de tracer le point A2 qui va être sur le cercle. Comme par symétrie, on a aussi le point A3. Donc, A2, A3, parce que le pentagone est symétrique par rapport à l'axe des abscisses. Et après, comme c'est un pentagone régulier, on peut reporter la distance A3, A2 pour obtenir tous les autres points. Et on a plus qu'à tracer le pentagone. Et c'est fini. Voilà, à plus !

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