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Complexes : Equations & polynômes

Dans cette vidéo, Paul résout un exercice sur la résolution d'équations algébriques dans le domaine des complexes. La première question consiste à résoudre l'équation Z sur Z-1 puissance n égale à 1 dans C. Si n est égal à 0, tout Z est une solution, sinon, les solutions sont les racines énièmes de l'unité. Dans la deuxième question, Paul observe que l'équation Z plus i puissance n égale à Z moins i puissance n admet n moins 1 solutions réelles. En isolant Z, il utilise la formule de l'angle moitié plus les angles de l'air pour obtenir les solutions, qui sont les complexes si n est égal à 0 et les racines tangentes si n est supérieur à 0.

Salut c'est Paul et on se retrouve dans une petite vidéo pour résoudre ensemble un exercice sur les complexes et plus particulièrement la résolution d'équations un peu algébriques dans le domaine des complexes. Ok c'est parti! Donc la première question consiste à résoudre dans C l'équation suivante Z sur Z-1 le tout puissant n égale à 1. Ok. Donc d'abord on va d'abord traiter le cas n égale à 0. En fait là c'est très simple parce que Z appartient à C donc c'est un cas un peu à part souvent n égale à 0 parce que là tout Z est solution. Donc sinon n est strictement supérieur à 0 et on a en fait c'est assez simple parce que c'est au départ simplement les racines énièmes de l'unité. Donc Z sur Z-1 le tout puissant n égale à 1 c'est équivalent à Z sur Z-1 appartient aux racines énièmes de l'unité. C'est ce que j'ai réécrit ici. Dans le cas où K ici égale à 0 on a ça un peu particulier si on le remarque parce que ici la racine est égale à 1 directement et Z sur Z-1 égale à 1 c'est équivalent à 0 égale à 1 donc il n'y a pas de solution dans ce cas là. Sinon dans le cas où K est supérieur ou égal à 1 donc y compris entre 1 et n-1 on va poser Z égale Rho I Theta et Z sur Z-1 est égal à E2i kpi sur n c'est équivalent à Z égale Z en fait on fait passer Z-1 de l'autre côté. On rabat tous les Z du même côté ainsi on peut isoler Z tout seul. C'est assez simple de manière algébrique. D'ailleurs on remarque qu'il fallait bien séparer le cas K égale à 0 parce que sinon on n'aurait pas pu diviser par E2i kpi sur n-1 parce que ça aurait pu être égal à 0. C'est bien qu'on ait traité le cas K égale à 0 et souvent comme on voit les cas n égale à 0, k égale à 0 c'est souvent particulier. Donc c'est bien de traiter. Souvent ce qu'on fait c'est qu'on fait l'exercice et on se rend compte qu'on a besoin de traiter à part un cas et du coup on le traite au brouillon, on le traite avant, on laisse un peu de place ou alors on traite l'exercice au brouillon et après on le rajoute en haut. Ce qui finalement nous donne ceci. Là j'ai utilisé le moitié et plus les formules de l'air pour transformer E2i kpi sur n-1 en E2i sin kpi sur n. Les exponentiels se simplifient avec le 2 ici. Ce qui nous donne, si on décompose en partie réelle et partie imaginaire ces exponentiels 1 demi moins i tangente de kpi sur n. Ainsi l'ensemble S des solutions de Z sur Z-1 puissance n égale à 1 et si n égale à 0, l'ensemble S est égal à l'ensemble des complexes totales parce que tout Z est des solutions. Si n égale à 1, il n'y a pas de solution et si n est supérieur à 2, l'ensemble des solutions est égal à 1 demi moins i sur tangente kpi sur n avec k appartenant à 1, n moins 1. On encadre tout ça, l'ensemble des Z des solutions et les différents cas. Maintenant on passe à la question 2. La question 2 c'est Z plus i puissance n égale à Z moins i puissance n et on doit résoudre dans C. On doit observer qu'elle admet n moins 1 solution toute réelle. Mais ça on résout et on observera plus tard. Dans le cas où n égale à 0, Z appartient à C et solution. Sinon n est strictement supérieur à 0. Toujours k égale à n, n égale à 0 à part, sinon ça va nous gêner plus tard. L'équation est équivalente à, et comme i n'est pas solution, on peut tout ramener d'un côté. On peut diviser par Z moins i pour nous ramener à une k, un complexe puissance n égale à 1. Et là, racine i m de l'unité, pareil, et on isole le Z tout seul. Là on peut faire cette manipulation, diviser par E de Z kpi sur n moins 1. Parce que le k, k égale à 0 n'enlève pas de solution. Ici vous voyez bien que le k appartient à 0 n moins 1. Et là j'ai enlevé parce que dans le cas k égale à 0 il n'y a pas de solution. Ainsi on peut l'enlever. Comme ici, le k, comme i n'est pas solution, on peut diviser par Z moins i. On isole Z ne peut pas être égal à i parce que ce n'est pas solution. Pareil là, k ne peut pas être égal à 0 parce que dans ce cas là il n'y a pas de solution. Ainsi, là on utilise la formule de l'angle moitié plus les angles de l'air. On simplifie. Ainsi, l'ensemble des solutions, si n égale à 0, l'ensemble des solutions c'est les complexes. Si n est strictement supérieur à 0, c'est égal à 1 sur tangente kpi sur n, avec k appartenant à 1, 1 pas 0, 1 et de moins 1. Ici si on simplifie, ça nous donne 1 sur tangente, évidemment. On encadre et c'est fini. A plus!

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