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Complexes : Géométrie

Dans cette vidéo, Paul explique comment déterminer l'ensemble des points M dont la fixe Z vérifie certaines relations complexes en utilisant des objets géométriques. Pour la première question, Paul cherche les points M avec une fixe Z telle que l'argument de Z-2 est égal à pi sur 2 modulo de pi, ce qui signifie que Z est sur la demi-droite d'origine 2,0 porté par un vecteur V. Pour la deuxième question, l'argument de Z divisé par I plus I est égal à pi sur 2 modulo de 2 pi, ce qui signifie que Z est sur la demi-droite d'origine O passant par le point 1. Pour la troisième question, Paul développe une méthode pour trouver les points M tels que l'argument de Z moins 2i divisé par Z moins 1 plus i est égal à pi sur 2 modulo pi. Il utilise les points A et B ainsi que le cercle dont un rayon est AB pour déterminer l'ensemble des points recherchés.

Salut c'est Paul, on se retrouve dans une nouvelle vidéo où on va explorer les relations entre des équations avec des complexes et des objets géométriques. C'est parti, alors la première question, le but de l'exercice c'est de déterminer l'ensemble des points M dont la fixe Z vérifie une certaine relation complexe. Donc là sur des arguments dans cet exercice. Donc la question 1, en fait, c'est on va chercher les points M tel que leur affixe Z correspond à l'argument de Z-2 est égal à pi sur 2 modulo de pi. Donc on va expliciter ce que ça veut dire pour un certain Z. Donc l'argument de Z-2 égale pi sur 2 modulo de pi, ça veut dire que, on écrit ce que ça veut dire pour Z-2, ça veut dire qu'il existe un module, donc rho appartient à R plus étoile, tel que Z-2 est égal à rho EI pi sur 2, EI pi sur 2 c'est I, donc est égal à rho I. Pour Z, qu'est ce que ça veut dire? Toujours le même module et tel que Z est égal à rho I plus 2. Donc qu'est ce que ça veut dire au niveau géométrique? Ça veut dire que Z-2 ici est égal à rho I, donc sur cette demi droite ici, partant de 0, tourné de pi sur 2. Et là on lui rajoute plus 2, donc on la décale vers la droite de 2. Donc le nombre Z est sur la demi droite ici, d'origine 0, 2 et porté par le vecteur V. C'est ce qu'on va écrire. Ainsi l'ensemble des points recherchés est la demi droite d'origine 2, 0 porté par V. Ainsi on passe à la question suivante, et cette relation c'est argument de Z divisé par I plus I, égal pi sur 2, modulo de 2 pi. Donc on écrit ce que c'est, là on transforme I plus I ici en sa forme exponentielle, parce que c'est plus simple de traiter des arguments toujours avec des nombres sous la forme exponentielle plutôt que sous la forme algébrique, parce qu'on a directement accès à l'argument par définition. Et ici, il faut se rappeler que l'argument d'un quotient c'est l'argument du numérateur moins l'argument du dénominateur. Ainsi on peut passer l'argument du dénominateur pi sur 4 de l'autre côté de l'équation. On a argument de Z est égal à 3 pi sur 4 modulo 2 pi. Mais ça veut dire quoi? Ça veut dire que notre Z est sur la demi-droite d'origine O et dirigée dans la direction 3 pi sur 4, ici donc passant par le point ici par exemple, 1 des points. Donc l'ensemble des points recherchés est la demi-droite d'origine O passant par le point 1. Donc on a vu deux façons de caractériser une demi-droite, prendre une origine et un point par lesquels elle passe, donc bien préciser lequel est l'origine pour dire quel est le point d'origine, donc le point où elle s'arrête, ou avec comme je dis un point, une origine et un vecteur directeur. Donc la troisième question, là on veut trouver les points M tels que l'argument de Z moins 2i divisé par Z moins 1 plus i est égal à pi sur 2 modulo pi. Donc là on a bien un modulo pi, donc c'est un peu différent. Donc on note A égal à 0, 2 le point d'affix 2i, B, 1, 1 le point d'affix 1, i et M le point qui représente l'affix de Z. Donc pourquoi je mets ces points? Parce qu'en fait finalement là c'est Z moins l'affix de A ici, et là enfin Z moins l'affix de B. Pourquoi je dis ça? Parce qu'en fait que l'argument de Z moins l'affix de A est Z divisé par Z moins l'affix de B est égal à A pi sur 2 modulo pi. Ça veut dire qu'en fait l'angle formé par donc M, B et M, A, l'angle entre le vecteur M, B et M, A, donc M, B et M, A, voilà ici c'est bien les vecteurs, est égal à pi sur 2 modulo pi. Donc ça c'est bien à retenir. Et en fait ce que ça veut dire, si on réfléchit bien, ça veut dire qu'en fait le point M est sur le cercle qui a pour rayon AB. Donc un de ses rayons est le segment AB. Donc un rayon, si on a un segment, ça définit un cercle. Parce qu'on a un centre, donc le centre du segment, et un rayon qui est la moitié, la longueur du segment. Et donc comme on sait, quand on prend un point ici M et qu'on trace ici les points vers un rayon, et bien ça forme des triangles rectangles en tous points. Ainsi c'est une autre façon de définir un cercle. Donc l'ensemble des points M est le cercle dont un rayon est AB. Et le cercle est définit uniquement par ce rayon. Ok c'est la fin de cet exercice et on se dit à plus tard!

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