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Complexes : Géométrie

Paul donne un exercice sur les transformations du plan complexe. Il demande d'identifier la nature des éléments caractéristiques des applications qui ont des formes différentes. Selon Paul, les transformations peuvent être des translations, des rotations, etc. Dans la première question, il identifie une rotation de centre haut et d'angle moins pi sur 2. Dans la deuxième question, il reconnait simplement la définition d'une translation. Dans la troisième question, il identifie une similitude de centre 1 1 avec un rapport de 2 et une argument pi sur 3. Dans la quatrième question, il découvre une similitude d'angle alpha, de ce et de rapport 1 sur cosinus alpha et de centre 1 0. Paul conclut l'exercice en disant au revoir.

Salut c'est Paul et on se retrouve pour un nouvel exercice sur les complexes et plus particulièrement sur un exercice permettant d'aborder les transformations du plan complexe. L'exercice consiste à déterminer la nature des éléments caractéristiques des transformations géométriques données par l'écriture complexe suivante. Donc en fait là on a des applications de C dans C et si on les assimile à des transformations du plan, on veut déterminer les éléments caractéristiques de ces transformations. Donc les transformations ça peut être des translations, des rotations etc. Et donc on demande d'identifier ces applications. Donc c'est parti pour la question 1. Donc l'application qui a z associé 1 sur iz. Donc en fait là il n'y a rien de plus simple. Z, le module de 1 sur iz c'est égal au module de z parce que le module de 1 sur iz c'est 1. Et l'argument de 1 sur iz c'est l'argument de z moins pi sur 2. Donc c'est une rotation de centre haut et d'angle moins pi sur 2 parce qu'on ne change pas le module et l'angle, l'argument fait moins pi sur 2 donc c'est une rotation de centre haut et d'angle moins pi sur 2. Voilà très simple. Après la question 2 qui a z associé z plus 2i. Donc en fait là c'est tout simplement la définition de la translation du vecteur d'affix 2 plus i. Voilà. Il n'y a pas plus simple. Donc la question 3 là c'est un peu plus compliqué. En fait mais c'est quelque chose de très simple si vous connaissez bien votre cours car là on reconnaît une application sous la forme z associé a plus zb avec a et b décomplexes. Donc avec a et b ici. Et donc c'est une similitude. Et une similitude ça a des éléments caractéristiques tels qu'un angle donc qui est l'argument de a ici, le rapport de la similitude qui est le module de a et un invariant quand a est différent de 1. Donc là a est égal à 1 plus i racine de 3 donc l'invariant. Et donc l'invariant c'est ce qu'on appelle le centre de la similitude. Et donc on va chercher un z tel que ce z soit invariant par la transformation. Donc z égale son image. Ainsi on calcule z et on trouve z égale 1 plus i. Donc l'application recherchée c'est une similitude de centre 1 1. Donc ce que z est égal à 1 plus i donc c'est la fixe du point 1 1 de rapport 2 donc le module de a et donc pi sur 3 donc l'argument de a. Ok. Donc maintenant on va passer la question 4. Et là encore une fois c'est une similitude parce qu'on a a moins enfin a z plus b. Donc ici avec a égal 1 plus i tangent alpha et b égal moins i tangent alpha. Ok. Donc c'est une similitude d'angle argument de i plus tangent alpha donc argument de a. On calcule. On factorise par 1 sur cosinus alpha et on a cos alpha plus i sinus alpha pour faire apparaître des formes exponentielles en haut et nous dire que c'est exponentielle de i alpha. Donc on peut bien factoriser par 1 sur cosinus alpha parce que alpha est dans 0 pi sur 2 donc cosinus alpha ici donc pi sur 2 ouvert. Cosinus alpha est non nul. Il est non nul mais il est aussi positif donc 1 sur cosinus alpha c'est bien le module de ce nombre et donc l'argument de ce nombre est bien alpha parce qu'on sait bien sous une forme notation module argument. Il est super à 0 car alpha est compris entre 0 pi sur 2 ouvert et donc on a bien l'argument est égal à alpha. Le rapport est égal à 1 sur cosinus parce qu'on vient de calculer le module ici et le centre d'affix z égal à 1 voilà si on regarde très simplement là on a z si on prend z égal à 1 on a bien z égal à 1 on a bien z égal son image. D'ailleurs si on en trouve un en fait le centre d'une similitude est unique donc si on en a trouvé un qui marche c'est bien lui. On n'a pas besoin de prouver qu'il est unique. Ainsi l'application est une similitude d'angle alpha de ce et de rapport 1 sur cosinus alpha et de centre 1 0 donc parce que c'est le point d'affix z égal à 1. Voilà on arrive à la fin de cet exercice et je vous dis à la prochaine fois!

Transformations du plan

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