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Complexes : Géométrie

Dans cette vidéo, Paul explique comment déterminer le lieu géométrique des points M dont la fixe Z vérifie des relations sur le module. Il commence par assimiler le plan complexe au repère OUV et pose Z égale à A plus IB pour faciliter les calculs. En calculant les carrés des modules, il simplifie les relations et détermine que l'ensemble des points M est la droite OU, soit la droite des réelles. Il répète ce processus pour la deuxième question et trouve que l'ensemble des points M est également la droite des réelles. En résumé, Paul parle de la géométrie des nombres complexes en déterminant l'ensemble des points satisfaisant des conditions sur le module, et trouve dans ce cas deux droites des réelles.

Salut c'est Paul et on se retrouve dans une nouvelle vidéo sur les complexes pour faire le lien entre nombre complexe et géométrie. Donc là, Legacy nous demande de déterminer le lieu géométrique des points M dont la fixe Z vérifie des relations sur le module. Donc ce qu'on a dit, on assimile le plan complexe au repère OUV. Et on peut commencer la question. Il dit que quels sont les points M d'affixe Z tel que ce Z est égal à, enfin vérifier la relation, module de Z-I est égal à module de Z plus I. Donc on va poser Z égale A plus IB, donc réelle partie imaginaire, parce que ça va être plus simple de faire les calculs comme ça avec le moins I et plus I ici. Et donc Z-I égale Z plus I, on réécrit ce que c'est avec A plus IB. Et en fait, faire des calculs avec des modules c'est toujours beaucoup plus simple avec les carrés. Donc on prend les modules au carré et c'est équivalent parce que le module est positif. Maintenant on écrit ce que c'est, les carrés ça nous évite de se trimbaler des racines carrées partout, c'est plus pratique. Donc on écrit ce que ça veut dire, partie réelle au carré plus partie imaginaire au carré, partie réelle plus partie imaginaire au carré. Donc on simplifie et c'est équivalent à la partie imaginaire de Z est égale à 0. Donc ça veut dire que Z appartient à R. Ainsi, l'ensemble des points M recherchés est la droite OU, donc c'est la droite des réelles. La droite des abscisses sur le plan OUV. Maintenant, la deuxième question, on a le module de 3 plus Z est égal le module de 3 moins 6Z. Donc pareil, ça ressemble à la première question, on va faire pareil, on va poser Z égale A plus IB, partie réelle partie imaginaire. Et on écrit ce que ça veut dire, le module de 3 plus 6Z égale le module de 3 moins 6Z. Comme toujours, on travaille avec les carrés des modules, c'est plus simple. On écrit ce que ça fait, on calcule et c'est aussi équivalent à B égale à 0. Ainsi, c'est équivalent à Z appartenant à R et donc l'ensemble des points M est le même, c'est la droite des réelles, donc la droite des abscisses. C'est tout pour cet exercice, à plus!

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