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Limites

Dans cette leçon, on apprend à calculer les limites de certaines fonctions. La première étape est de déterminer la forme de la limite, qui peut être indéterminée. Il peut être nécessaire de manipuler l'expression pour faire apparaître la limite. Les techniques courantes comprennent la factorisation par le terme dominant pour les termes avec des puissances différentes et la multiplication par la conjugaison pour les racines. Une analyse rapide est nécessaire car le calcul de la limite doit être rapide. Dans les exemples donnés, la limite a été trouvée pour être plus l'infini, moins 1 huitième, 1, 5 sixièmes et 1 demi.

Salut c'est Paul et on se retrouve pour un nouvel exercice sur les limites où on va voir le calcul de limites. Donc là on va étudier les limites des fonctions suivantes. C'est parti, donc pour la question 1, on va faire une petite analyse au brouillon et on va voir les limites. On voit que là, ici, ça va tendre vers plus l'infini, là vers plus l'infini, et en bas plus l'infini zéro, donc plus l'infini au total. Donc là on a bien une forme indéterminée. Là je le fais comme ça, mais vous le faites comme ça en regardant directement dans l'énoncé de la question pour voir si c'est évident ou s'il va falloir un peu trafiquer l'expression pour faire apparaître la limite. Donc là c'est le cas, il va falloir un peu trafiquer. Et donc là, la technique c'est qu'on a des termes de puissance différente, on a une exponentielle qui va très vite vers plus l'infini, et une exponentielle de x qui va moins vite, et donc le but c'est ici de factoriser par le terme dominant, c'est une des techniques. Et donc là le terme dominant c'est l'exponentielle de 3x et ici c'est l'exponentielle de x. Donc on factorise par le terme dominant, et les termes dominants ici se simplifient. Donc en fait c'est vraiment ce terme ici qui va déterminer la limite d'en haut et ce terme qui va déterminer la limite d'en bas. C'est pour ça que là tout ça n'est pas vraiment important, c'est vraiment ça qui va être important. Donc on simplifie, et donc ça, l'exponentielle de 2x tend vers plus l'infini en plus l'infini. Ici l'exponentielle de moins 3x fois 2x plus 7, donc ça tend vers 0, donc par croissance comparée parce que l'exponentielle ici tend plus vite vers 0 que 2x ici tend vers plus l'infini. Et en bas, donc ça tend au total vers 1, et en bas ça tend vers 1 en plus l'infini, donc finalement la limite c'est plus l'infini. On va passer à la deuxième question, et donc là on a une racine, et en fait quand on a des racines, en général la technique c'est de multiplier par la quantité conjugée. Donc voilà, qui consiste à multiplier ici en haut et en bas par, donc là on a racine de quelque chose moins un chiffre, et donc en fait c'est multiplier par racine ici plus quelque chose, donc pour faire apparaître l'identité remarquable A plus B fois A moins B. Donc on simplifie, on simplifie, et donc là on voit que le x² se simplifie avec le x et le 4 passe en bas, et donc finalement là ici ça tend vers 2, donc la limite cherchée est moins 1 huitième. Donc finalement pour x strictement supérieur ou égal à 0, la troisième question, en fait là c'est défini pour x supérieur ou égal à 0 parce qu'on a des x et des racines, donc ça peut nous servir ici de savoir que x est positif. Donc on factorise par le terme dominant, et on voit qu'on a, donc on factorise ici, donc il y a racine de x ici, donc là il ne faut pas se tromper à chaque fois, là il faut un peu réfléchir de ce qu'on a 1 sur x, 1 sur x3, voilà pareil en bas, ça simplifie, et donc cette partie ici tend vers 0, quand x tend vers plus infini, cette partie aussi, donc tout ça là ça tend vers 1, là ici ça tend vers 1, donc la limite recherchée est bien 1. Donc pour la question 4, là aussi pareil, on a une racine moins quelque chose, et donc on multiplie par la quantité conjuguée. Donc là ça nous donne ceci en haut, on simplifie, on simplifie ici, et là on peut factoriser par x ici, donc on a 5, x² devient x, et ici on enlève le x, et ainsi on peut, en haut là c'est plus une forme déterminée parce qu'en haut ça tend vers 5, et en bas ça tend vers 3, donc ça tend vers 6, donc la limite recherchée est 5 sixièmes. Ok maintenant on passe à la question 5, donc là c'est typique des racines avec des opérations moins ou plus entre les racines, donc là c'est quand c'était conjugué, on simplifie les x en haut, et là c'est toujours une forme indéterminée, et donc on factorise par le terme dominant, donc ici en haut là c'est juste racine de x, et en bas ce sera racine de x aussi, ainsi ça tend vers 1, et donc la limite recherchée est 1 demi. Ok donc c'est la fin de cet exercice, et comme on le voit il faut que ça aille très vite, parce que c'est quelque chose que vous devez faire très très vite, donc là je détaille, mais après vous pourrez beaucoup moins détailler, vous pourrez dire par les règles de calcul de la limite, la limite c'est ça. Voilà c'est la fin de cette vidéo, et on se dit à la prochaine fois!

Calculs de limites

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