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Limites

Dans cette vidéo, Paul étudie les limites à droite des fonctions f(x), g(x) et h(x) qui sont associées aux parties entières de 1/x, x × partie entière de 1/x et x^2 × partie entière de 1/x. En utilisant le théorème de comparaison et le théorème d'existence de la limite par encadrement, Paul démontre que la limite à droite de f(x) en 0 est plus l'infini, la limite à droite de g(x) en 0 est 1 et la limite à droite de h(x) en 0 est 0.

Salut c'est Paul et on se retrouve pour une nouvelle vidéo sur les limites et les parties entières. Donc là on va devoir étudier les limites à droite des fonctions suivantes. Donc x qui a x associé la partie entière de 1 sur x, g qui a x associé x partie entière de 1 sur x, et h qui a x associé x carré partie entière de 1 sur x. Donc d'abord on va remarquer que la partie entière de 1 sur x elle est compris entre 1 sur x et 1 sur x moins 1. Donc ça c'est général à toutes les parties entières, il faut bien le retenir. Et donc d'après, la première partie de l'inégalité, on a f de x est supérieur à 1 sur x moins 1. Et bien ça nous dit que la fonction de gauche ici tend vers plus l'infini quand x tend vers 0 par valeur positive. Donc par théorème de comparaison, la limite à droite de f de x sans 0 est égale à plus l'infini. Donc maintenant si on remarque, si on multiplie 1 par x, on fait apparaître g de x. Donc x est bien positif ici, donc on peut multiplier par x sans changer le sens des inégalités. Et donc on a g de x qui est compris entre 1 moins x et 1, quel que soit x très positif. Et donc on a que 1 moins x tend vers 1 quand x tend vers 0 par valeur positive, 1 tend vers 1. Et donc par théorème d'existence de la limite par encadrement, aussi appelée de Homme des gendarmes, la limite de g de x à droite en 0 est égale à 1. Et maintenant on remarque que h de x est égale à x g de x, x tend vers 0, g de x tend vers 1, donc la limite de h de x est bien 0 par valeur positive. Ok, donc c'est la fin de cet exercice et on se dit à une prochaine fois!

Limites de parties entières

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