Home

MPSI/PCSI

Maths

Analyse

Limites

Bonjour, je suis Paul et je vais résumer ce cours en utilisant des techniques d'optimisation pour le référencement naturel (SEO). Dans cette vidéo, nous abordons un exercice complexe sur les continuités et les limites. L'énoncé est le suivant : si f(x+1) - f(x) converge vers une limite réelle L lorsque x tend vers l'infini, nous devons montrer que f(x)/x a également la même limite L. 

Pour résoudre cet exercice, nous commençons par écrire f(x+1) - f(x) convergent vers L. En manipulant cette inégalité, nous obtenons f(x)/x avec des termes qui tendent vers 0. Cependant, nous ne pouvons pas directement utiliser ces informations pour prouver notre résultat.

L'idée clé est de sommer cette inégalité sur un n choisi judicieusement, puis de contrôler ces termes pour éviter qu'ils tendent vers 0. Nous utilisons la continuité de f à un certain moment pour borner la fonction et l'écraser avec x tendant vers 0.

En résumé, nous démontrons que f(x)/x converge vers L en utilisant des encadrements pour contrôler les termes qui tendent vers 0 et en jouant sur la continuité de f pour borner la fonction.

J'espère que vous avez bien suivi. N'hésitez pas à revoir l'exercice si vous avez des questions. À la prochaine fois !

Salut c'est Paul et on se retrouve pour une nouvelle vidéo sur un exercice. Alors cet exercice, je vous préviens, il est assez compliqué, alors n'hésitez pas à revenir dans la vidéo et à revoir le corrigé pour vous approprier cette correction. Donc c'est un exercice assez classique sur les continuités et les limites où on a f de R dans R continue, tel que f de x plus 1 moins f de x convergent vers l une limite réelle en plus de l'infini et il faut montrer que f de x sur x tend aussi vers cette même limite l. Donc en fait on va écrire ce que ça veut dire f de x plus 1 moins f de x tend vers l au brouillon. Donc ça veut dire que pour x assez grand, je l'écris avec des mots, sans quantificateur, on est au brouillon, x, et là je dis que x moins 1 reçoit x. Parce que ça nous permet de reprendre le f de x positif ici. En fait si on bidouille un peu l'inégalité, on se retrouve avec du f de x sur x et là on a du l plus epsilon sur x, l moins epsilon sur x. Ces termes ici qui tendent vers 0, ça nous arrange, pas trop, parce que le l disparaît ici, et là ça aussi f de x moins 1 sur x, on n'a pas trop d'informations dessus, comment on s'en sert ? Donc là ce n'est pas la bonne piste, l'inégalité n'est pas assez raffinée, l'encadrement n'est pas assez raffiné, on va devoir trouver un encadrement plus fin, l'exercice serait beaucoup plus simple si ça pouvait marcher, mais ça ne marche pas. Donc l'idée c'est de sommer l'inégalité sur un n bien choisi, et après en fonction de ce qu'on aura, choisir bien ce n pour bien encadrer, bien contrôler ces termes ici, et ne pas avoir ces termes qui tendent vers 0. Donc c'est ça, le but c'est de contrôler ces termes qui tendent vers 0, et que ces termes tendent vers l plus epsilon et l moins epsilon, ou un truc du genre. Et ne pas oublier que f est continu surtout, et ça va nous servir à un moment donné. Il ne faut pas l'oublier, il faut toujours l'avoir dans un coin de sa tête, c'est quoi la continuité, les définitions, les propositions sur la continuité, tout ce que vous savez sur la continuité. Dès que vous êtes bloqué sur le raisonnement, vous savez à peu près comment faire, mais dès que vous êtes bloqué, continuité, continuité. C'est parti, f de R dans R continue, et on va écrire ce que c'est la limite, c'est l'élément central. Donc on prend un epsilon strictement supérieur à 0, ça va être notre epsilon qui va prouver la limite à la fin, et on applique la définition de la limite, de cette limite, pour epsilon reçoit epsilon sur 2. Pourquoi epsilon sur 2 ? Vous verrez à la fin. On peut faire l'exercice avec epsilon, c'est juste qu'à la fin on tombe avec du 2 epsilon au lieu de 2 epsilon. C'est pas grave, mais après vous pourrez revenir, si vous faites l'exercice et que vous ne pensez pas mettre du epsilon sur 2, parce que vous ne savez pas, vous reviendrez après, et vous pourrez remettre du epsilon sur 2 ou remodifier pour avoir bien du epsilon à la fin. C'est pas grave, c'est la façon de faire l'exercice. On écrit la définition de la limite. Il existe un a, on le prend strictement supérieur à 0, tel que quelque soit x appartenant à R, si x est supérieur ou égal à a, ça implique que f2x plus 1 moins f2x, y compris entre L plus epsilon et L moins epsilon sur 2. Pourquoi ? Là j'ai choisi la définition, pas avec les valeurs absolues, mais avec les encadrements. C'est la même chose, c'est juste que c'est plus simple de manipuler les encadrements, je trouve, que les élèves en font moins d'erreurs. C'est plus sympa que manipuler des valeurs absolues, parce que les valeurs absolues, vous oubliez toujours des choses, alors que là, les encadrements, c'est clair, tout est écrit, il n'y a pas de choses cachées. On va fixer ce a, quand on met il existe, le a est sous-entendu fixé, mais on fixe bien dans notre esprit qu'il est fixé. Maintenant, on prend un x supérieur à a pour pouvoir appliquer ça. Là, comme j'ai dit, on va sommer, donc on prend un n dans n étoiles, et donc on somme l'inégalité avec x, soit x plus k, parce qu'on ne va pas sommer juste ça, on va sommer pour faire apparaître du x plus n et du f2x plus n moins f2x, avec une somme télescopique, pour k allant de 0 à n moins 1. Là, on somme sur l'inégalité, et c'est une somme télescopique, donc ça nous donne f2x plus n moins f2x. Ainsi, on a bien, quel que soit x supérieur égal à a, quel que soit n, on a pris un n ici, on a pris un a, donc c'est vrai pour tout x supérieur égal à a, et pour tout n dans n étoiles. Donc, n moins l, on a n ici, l moins epsilon sur 2, n, l plus epsilon sur 2, et f2x plus n moins f2x. Mais là, on va l'appeler l'inégalité 1. Et maintenant, on reprend un x supérieur égal à a, et on applique 1 ici pour, en fait, c'est là où ça va être vraiment la grosse astuce, parce que pour l'instant, ce n'est pas si une grosse astuce que ça, mais la grosse astuce, ça va être de prendre n égale la partie entière de x moins a, appartenant du coup à n étoiles, pour pouvoir appliquer ça, et de prendre x reçoit x moins n. Donc, c'est la même chose que quand on prenait x reçoit x moins 1, sauf que là, c'est moins n, vu qu'on a prouvé ça. On va pouvoir prendre x reçoit x moins n, donc là, on va inverser le rôle de x ici, et de x plus n, donc là, on aura du x moins n, et ici, du x. Alors, pourquoi c'est intéressant de prendre du x reçoit x moins n ? En fait, là déjà, on vérifie bien qu'on a x moins n, et supérieur égal à a, pour pouvoir appliquer l'inégalité. Pourquoi c'est important, c'est intéressant, parce que ce x moins n ici, c'est x moins x plus a, la partie entière près. Donc, en fait, c'est à peu près du a, ce x moins n. Donc, ce x va rester, même si ce x moins n ici, il va rester proche de a, et c'est ça qui va nous permettre de contrôler ces termes qui vont apparaître en f de x, à droite et à gauche de l'encadrement. Je vais m'expliquer ce que ça va donner. On écrit ce que ça nous donne, on remplace x par x moins n, et n par n, ça, ça va nous servir plus tard. Je ne vous conseille pas de le remplacer par sa valeur directement. Donc, on écrit ce que ça peut dire, et on fait apparaître du f de x sur x. x est bien positif, parce qu'il est strictement supérieur égal à a, et a est positif. On l'a choisi positif. Et là, ça nous fait apparaître du f de x moins n sur x, f de x moins n sur x. C'est ça dont je parlais, le x moins n ici, là, il est proche de a. Donc, en fait, ça, ça ne va pas trop bouger, et le x va le faire tendre vers 0. Et a contrario, le n, c'est du x. C'est moins a, mais c'est x qui est important. Donc, n, c'est à peu près x. Donc, ça, ça va tendre vers 1, c'est ce qu'on veut. Et ça va nous donner du l moins epsilon. Donc, voilà ce que ça nous donne. Et là, du coup, maintenant, on a deux types de termes. On a du n sur x, l moins epsilon, et du n sur x, l plus epsilon. Donc, ça, c'est ce type de termes ici qui vont tendre vers l plus epsilon et l moins epsilon. Et des termes qu'on veut faire tendre vers 0. Donc, on va d'abord traiter les termes ici, f de x moins n sur x. Et pour ce faire, du coup, c'est ce que je vous disais, n, c'est là où l'astuce prend tout son sens. n est égal à la partie entière de x moins a. Donc, on peut l'encadrer entre x moins a et x moins a moins 1. Donc, finalement, x moins n ici, c'est compris entre a et a plus 1. Et c'est là que la continuité va rentrer en compte, parce que si une fonction est continue sur un segment, elle est bornée sur ce même segment. Et ça, c'est très important, parce que ça va nous permettre de borner cette fonction ici. Et donc, en fait, cette fonction ici, on va pouvoir l'écraser. Vu qu'elle est bornée, on va pouvoir l'écraser avec ce x vers 0. Donc, on va poser m. On va donner un nom sur cette borne, qu'on va appeler m, qui est la borne supérieure ici de f. Et donc, on a bien que la valeur absolue de f de x moins n sur x est inférieure ou égale à m sur la valeur absolue de x. Ça tend vers 0 quand x tend vers plus infini. Donc, on a f de x moins n sur x, par comparaison, tend vers 0 quand x tend vers plus infini. Donc, on a bien ça qui tend vers 0. Donc, ce n'est plus un problème. Et maintenant, on va prouver que n sur x tend vers 1. On a bien que on a n sur x ici. On reprend l'encadrement qu'on avait ici de n entre x moins a moins a et x moins a. Et on le divise par x. On a bien que 1 moins a plus 1 sur x tend vers 1 quand x tend vers plus infini. Pareil, 1 moins a sur x tend vers 1 quand x tend vers plus infini. Donc, on a bien que les deux termes qu'on cherchait tendent vers l plus y sur 2 et l moins y sur 2, ce qu'on cherchait. Ainsi, maintenant, on va récapiter tout ce qu'on a sur ces termes. On a que le membre de droite tend vers l moins y sur 2. Donc, il existe un a prime. C'est-à-dire que quel que soit x supérieur ou égal à a prime, on écrit ce que c'est cette limite par définition de la limite. Et on l'applique pour epsilon grossoir epsilon sur 2. Comme ça, là, on a du epsilon. C'est pour ça que j'ai choisi du epsilon sur 2. Comme ça, là, on a du epsilon et pas du moins epsilon moins epsilon. Donc, du moins 2 epsilon. Et maintenant, on a une définition de la limite partielle. Là, on n'a besoin que de la lignalité dans ce sens-là parce que la façon dont est posé ce terme ici, on a juste besoin de minorer ce terme. Et maintenant, on majore le terme de droite. Avec la définition de la limite sur l plus... Enfin, la définition de la limite, le terme de droite tend vers l plus epsilon sur 2 pour epsilon grossoir epsilon sur 2. Et on a un second a à seconde. Pour tout x supérieur ou égal à a à seconde, on a que le membre de droite de l'encadrement qu'on veut réduire est inférieur ou égal à l plus epsilon sur 2 plus epsilon sur 2. L plus epsilon sur 2, c'est bien la limite. Et le epsilon sur 2 ici, c'est bien l'epsilon qu'on utilise pour la limite. Dans la définition de la limite. Pour qu'on ait tout ce qu'on a prouvé ici, c'est vrai pour x supérieur ou égal à a. Et ça, c'est vrai pour x supérieur ou égal à a prime et à seconde. Donc là, on va prendre x supérieur ou égal à au maximum de a à prime et à seconde. Comme ça, tout ce qu'on a prouvé, c'est vrai pour un x assez grand. Et ça veut dire quoi assez grand ? Ça veut dire supérieur à tous les a qu'on a pris jusqu'à présent. C'est ça notre a. Il existe un a tel que pour tout x supérieur ou égal à a dans la définition de la limite de f2x sur x. C'est ce qu'on veut prouver. On a, avec tout ce qu'on a prouvé, que f2x sur x, y compris entre l plus epsilon et l moins epsilon. D'après cet encadrement et toutes les inégalités qu'on a prouvées ici, cette inégalité et cette inégalité, avec x supérieur ou égal à ce grand a ici, qui est le maximum des trois a qu'on a utilisé, on a bien que f2x sur x, y compris entre l moins epsilon et l plus epsilon. Et ainsi, on a bien recréé la division de la limite de f2x sur x tend vers l. Et donc f2x sur x possède bien une limite en plus de l'infini. Et cette limite, c'est l. Voilà, j'espère que vous avez bien suivi. Sinon, vous pourrez reprendre l'exercice. N'hésitez pas. Et on se dit à une prochaine fois.

Détermination d'une limite à l'aide de la définition formelle

RELATED

Recommended videos

Limite et continuité avec la définition formelle

Détermination d'une limite à l'aide de la définition formelle

Limites de fonctions sinus