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Limites

Dans cet exercice sur les limites et la continuité, nous avons une fonction f continue en 0. Nous prenons un a dans R et posons un égal à f de a sur 2n. Nous devons déterminer la suite un et en déduire l'expression de f. Nous remarquons que a sur 2n tend vers 0, le point de continuité de f. Nous pouvons donc utiliser la définition séquentielle de la limite en remplaçant x par la suite un. Nous remarquons aussi que f de x est égal à f de 2x. En utilisant ces deux éléments, nous montrons que la suite un est constante et égale à f de a. Par la continuité de f en 0 et le fait que la limite de a sur 2n tend vers 0, nous montrons que f de a est égal à f de 0 pour tout a dans R. Cela prouve que f est constante.

Salut c'est Paul, surtout pour un exercice sur les limites et la continuité. Donc là on a une fonction de r dans R qui est continue en 0, telle que f de 2x égale f de 2x. Et on prend un a dans R, et on pose un égale f de a sur 2n, et on nous demande que dire de la suite un et en déduire l'expression de f. Déjà on voit que a sur 2n tend vers 0, et après ça tend vers 0, ça tend vers le point de continuité de f. Or f continue en 0, ça veut dire que la limite de f de x quand x tend vers 0 est égale à f de 0. Et là on peut dire que ça nous fait penser à la définition séquentielle, on a une suite, définition séquentielle de la limite. Donc on va pouvoir utiliser le fait que cette suite tend vers 0 et l'injecter ici à la place de x. Maintenant un plus un, il y a une chose qu'on peut remarquer, on peut utiliser le fait que f de x égale f de 2x. Un plus un égale f de a sur 2n plus un égale f de 2, donc notre x égale f de 2x, et on voit que c'est égal à un. Donc u va être une suite constante, et maintenant on a à peu près tout, et on va pouvoir commencer. On verra ce qu'on peut dire de f. Là j'ai assez d'éléments pour commencer l'exercice, c'est bon j'ai des idées, ça suffit, on commence l'exercice. Comme on disait, on a que quelque soit n, un plus un ici égale à f de a sur 2n plus un. C'est égal à, d'après l'énoncé f de 2x a sur 2n plus un, et on remarque que c'est égal à f de a sur 2n qui est égal à un. Donc quelque soit n appartenant à n, un plus un égale a un. Donc un est constante, et on a u0 égale f de a, parce qu'on a 2 puissance 0 égale 1, donc un est la suite constante de valeur f de a. Donc on a, qu'on peut dire de la suite un, c'est la suite constante de valeur f de a. Maintenant, qu'est-ce qu'on peut en déduire sur f? Là on va utiliser le fait que la limite de a sur 2n ici au coréne de taille infini c'est 0, et on va utiliser la continuité de f en 0. Et donc la limite de un, c'est la limite de f de a sur 2n, et donc la limite de a sur 2n par continuité de f en 0 c'est f de 0. Mais, on va utiliser le fait que un est constante, donc la limite de un c'est égal à f de a. Donc limite de un égale u0, ainsi f de a c'est égal à f de 0, parce que f de a c'est égal à u0, donc f de a égale f de 0. Et on a prouvé que f de a égale f de 0, et là on a pris un a dans l'énoncé, un a appartient à un r quelconque. Donc ça veut dire que ça, f de a égale u0, c'est vrai pour tout a dans r. Donc quel que soit appartient à un r, f de a égale f de 0, donc f est constante. Voilà, donc c'est la fin de cet exercice, et on se dit à la prochaine fois!

Caractérisation séquentielle de la limite

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