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Limites

Dans cette vidéo, Paul explique comment les limites de fonctions écrites avec des parties entières se comportent en zéro. Pour la fonction f, il montre que la limite existe et est égale à b/a. Pour la fonction g, il montre que la limite n'existe pas car elle a un comportement différent lorsqu'elle tend vers zéro par valeur positive et négative. Lorsqu'elle tend vers zéro par valeur positive, elle tend vers zéro, alors qu'elle tend vers plus l'infini lorsqu'elle tend vers zéro par valeur négative.

Salut c'est Paul et c'est tout pour cette nouvelle vidéo on va parler de limite de fonctions et c'est avec des fonctions qui s'écrivent avec des parties entières. Donc on va voir comment les parties entières se comportent en zéro. Donc en fait là on a a et b de réels tomes positifs et f de x et g de y qui sont les mêmes fonctions x sur a et b sur x fois b sur x mais ces fonctions elles ont la seule différence que la partie entière ici est sur b sur x pour f de x et sur x sur a pour g. Et on va voir que ça va changer quelque chose pour la limite. Donc comment on doit étudier les limites en zéro de ces fonctions. Donc pour la fonction f en fait le facteur déterminant ici ça va être, là on voit bien que c'est la partie entière parce que sinon la fonction ce serait juste, les deux fonctions seraient égales et ce serait juste des fonctions constantes qui sont égales à b sur a si on enlève la partie entière. Donc ce qui est important c'est le terme dans la partie entière. Donc le terme dans la partie entière ici qu'est ce qu'on peut en dire? B sur x ici tend vers plus l'infini donc la partie entière aussi juste par palier elle va tendre vers plus l'infini. Mais il n'y a pas grand chose qu'on peut faire sauf l'encadrer entre deux fonctions de limites connues, continue, tout ce qu'on veut. On peut l'encadrer donc avec l'encadrement connu de la partie entière. Pour la fonction g par contre on n'a que x sur a ici donc ce qui est dans la partie entière tend vers zéro. Et en fait on remarque que quand x sur a tend vers zéro, c'est tend vers zéro par valeur positive au bout d'un moment elle va être comprise entre 0 et 1. Donc au bout d'un moment la fonction g va être nulle parce que la partie entière va être égale à zéro. Par contre on voit que c'est pas le même comportement si on arrive par valeur négative donc par la gauche. Mais en fait au bout d'un moment si la fonction si tend vers la gauche par la gauche, x sur a au bout d'un moment il va être compris entre 0 et moins 1 donc la partie entière va être égale à moins 1. Donc on voit que la limite à gauche va avoir un comportement différent de la limite à droite donc la limite à droite va être différente de la limite à gauche sûrement et comme ça on va prouver que la limite n'existe pas en zéro. Donc c'est parti. D'abord pour la fonction f. Donc la limite de f. Comme j'ai dit là on peut avoir pour quelque soit x différent de zéro, on a que la partie entière de b2x toujours est comprise entre b2x moins 1 et b2x. L'encadrement. Et là on prend le cas strictement supérieur à zéro parce que comme ça l'inégalité ne change pas de sens ici. On traitera le cas strictement inférieur à zéro après. On multiplie par x sur a pour obtenir f2x. Donc on a que f2x est compris entre une fonction qui tend vers b sur a par valeur positive ici et b sur a donc par le théorème d'existence de la limite par encadrement. La limite de f2x par valeur positive est b sur a. De même, quelque soit x strictement inférieur à zéro, on a la même chose mais avec une limite à gauche. On a la même chose mais avec les inégalités dans l'autre sens. Et on a bien f2x écrasé en sandwich entre deux fonctions qui tendent vers b sur a. Et donc la limite à gauche de f2x est égale à b sur a. La limite à droite est égale à la limite à gauche donc la limite existe. Et cette limite est égale à b sur a en zéro. Maintenant on va passer à la limite de g. J'ai écrit limite de g mais on va prouver que la limite de g n'a pas de limite en zéro. Donc g2x, je vous rappelle, c'est x sur a, b sur x. Et donc là, comme j'ai dit, dans la phase de Brouillon, on a que quelque soit x appartenant à zéro a, donc quand x est assez proche de zéro par valeur positive, on a que x sur a est strictement compris entre zéro et un. Et donc, ça veut dire que si on prend sa partie entière, la partie entière est égale à zéro. Ainsi, quand x est strictement positif et inférieur à a, eh bien g2x est égale à zéro. Donc plus on s'approche au bout d'un moment, quand on va se rapprocher de zéro, la fonction g2x va être nulle. Ainsi, la limite de g2x quand x tend vers zéro par valeur positive est égale à zéro. Ça ne va pas être le même scénario quand x tend par valeur négative. Donc on a ici, quelque soit x appartient à moins a zéro, on a x sur a compris entre moins un et zéro. Et donc, ça veut dire que la partie entière est égale à moins un. Et donc, la fonction g2x est égale à moins b sur x. Et donc, la limite ici, quand x tend vers la valeur négative, par valeur négative, ça tend vers un zéro moins, donc ça tend vers moins l'infini, mais on a un moins ici, donc plus l'infini. Donc la limite de g2x est plus l'infini par valeur négative. Et g n'a pas de limite en zéro. Voilà, c'est la fin de cet exercice. On se retrouve, on se dit à la prochaine fois.

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