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Continuité sur un segment

Dans cet exercice, nous cherchons à prouver qu'il existe toujours deux points sur l'équateur ayant la même température. Pour ce faire, nous considérons la température comme une fonction continue de la longitude, T(x), qui est périodique de période 2π. Nous cherchons donc à trouver un x tel que T(2x) = T(2x+π), ce que nous traduisons en T(2x) - T(2x+π) = 0. Nous posons la fonction f(x) = T(2x) - T(2x+π), qui est continue et périodique, et cherchons deux points, x0 et x1, tels que f(x0) > 0 et f(x1) < 0. En utilisant la périodicité de T, nous trouvons x1 = x0+π tel que f(x1) = T(2x1+π) - T(2x1) = -f(x0). Nous appliquons le théorème des valeurs intermédiaires pour conclure qu'il existe un x2 sur l'équateur tel que T(2x2) = T(2x2+π), prouvant ainsi notre hypothèse initiale.

Salut c'est Paul, et bienvenue pour un exercice assez intéressant où on va essayer de prouver quelque chose avec les propriétés sur les continuités de fonctions. Donc, l'exercice consiste à démontrer qu'il existe à tout moment deux points posés sur l'équateur où les températures sont égales. Et là, on a une indication, on pourra considérer que la température à l'équateur est une fonction continue de la longitude. Qu'est-ce que ça veut dire? On va considérer cette fonction, la température T2x, elle est continue, et elle va être périodique, parce que si on est à l'équateur ici, on le paramètre de 0 à 2π pour un angle en radian par exemple, ça n'a pas vraiment d'importance, mais comme ça, ça permet de nous rattraper à quelque chose qu'on connaît, et elle est périodique de période 2π. Donc, nous, ce qu'on va voir, c'est qu'il faudra trouver un point x ici, tel que x plus π, que T2x est égal à T2x plus π. Si on dessine un peu cette fonction, on remarque qu'en fait, comme elle est périodique, T20 est égal à T2π, donc la fonction va faire des choses là, entre 0 et 2π, et on voit que là, il va bien exister, c'est assez intuitif qu'il va bien exister un intervalle π, comme quoi si on dessine des barres π là, quel que soit le dessin qu'on va faire à la main à continue, on va pouvoir mettre un intervalle π comme ça, qui va relier deux points de la courbe. Donc, ça nous paraît raisonnable déjà. Et, qu'est-ce que ça veut dire ça? En fait, ça va sûrement être une histoire de TVI, donc de théorème des valeurs intermédiaires, parce que c'est entre deux valeurs, il y a une courbe qui prend deux valeurs, il va falloir juste trouver la bonne fonction qui va s'annuler, parce que le TVI, ça parle de fonction en 0. Là, ça parle de fonction qui prend la même valeur en deux points, bon, ce n'est pas tout à fait pareil. Et donc, cette histoire de TVI, on va se ramener à une seule fonction, au lieu de dire que la même fonction est égale à deux endroits différents, on va se ramener à annuler une fonction, donc T2x moins T2x plus π, donc on va chercher les points d'annulation de f2x, et grâce au théorème des valeurs intermédiaires, on va y arriver avec la continuité et les histoires de périodicité, tout ça. Donc, c'est parti. Donc, on a la Terre ici avec l'équateur, et on assimile l'équateur à un cercle que l'on paramètre de 0 à 2π, par la longitude x, et on assimile aussi la température à l'équateur à une fonction continue T de la longitude x, et on remarque en fait que T est de 2π périodique, par définition, c'est physique, c'est évident. Et on doit montrer finalement qu'il existe un x tel que T2x est égal à T2x plus π. Donc ça, c'est pour nous rappeler un peu, traduire ce que ça veut dire, démontrer qu'il existe à tout moment, etc. Donc maintenant, là comme on a dit, vu qu'on sait que ça va être plus simple de travailler sur une fonction f qui va s'annuler, en fait on va traduire ça en disant qu'il existe un x tel que T2x moins T2x plus π est égal à 0, et donc on va poser la fonction f de R dans R, qui a x associé de x moins T2x plus π. Elle est continue et de 2π périodique, parce que T est continue et de 2π périodique. Et maintenant, on va essayer de trouver deux x tel que f va être, enfin deux x ici, tel que f, enfin un x positif et un x négatif, tel que, et comme ça f va pouvoir, enfin on va essayer de trouver un x tel que f est strictement positif, et un x tel que f est négatif, et ainsi f va s'annuler entre les deux. Donc si on prend un x entre 0 et π, un x de 0 par exemple, on l'a pris entre 0 et π mais il n'y a pas forcément d'obligation, et si f2x est 0, on a trouvé nos deux points, c'est x0 et x0 plus π. Sinon f2x0 est différent de 0, et on peut supposer que f2x0 est strictement supérieur à 0 sans perdre de généralité, parce que c'est la même chose en inversant les inégalités, vous verrez, si f2x0 est strictement inférieur à 0. Donc ça va être notre point ici positif, et maintenant on va essayer de trouver un x1 tel que f2x1 est strictement négatif. Comment on va faire? Qu'est-ce que ça veut dire que f2x0 est strictement supérieur ou égal à 0? Ça veut dire que T2x0 est strictement supérieur à T2x0 plus π, et maintenant on va utiliser la 2π périodicité de T. En disant que T2x0 plus 2π est strictement supérieur à T2x0 plus 3π, et on pose là x1 est égal à x0 plus π, et donc T2x1 plus π est strictement supérieur à T2x1 plus 2π par ici là plus 2π. On a juste injecté x1 ici dans l'équation supérieure, et en fait on remarque que comme T est 2π périodique, T2x1 plus 2π c'est égal à T2x1. Ainsi on a inversé les rôles de T2x0 et de T2x0 plus π avec x1. Et donc là si on remet tout du bon côté, on a f2x1 est strictement inférieur ou égal à 0. Donc là on a bien un f continue et on a un f2x0 strictement supérieur ou égal à 0, un f2x1 strictement inférieur ou égal à 0. Et donc d'après le théorème des variateurs intermédiaires, il existe un autre 1x2 entre x0 et x1 tel que f2x2 est égal à 0, et donc T2x2 est bien égal à T2x2 plus π par définition de f. Ainsi dans tous les cas on a bien trouvé un point tel que son point opposé sur l'équateur a la même température que lui, donc il y a bien à tout le monde deux points opposés de l'équateur où les températures sont égales. Voilà c'est la fin de cet exercice et on se dit à la prochaine fois!

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