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Continuité sur un segment

Dans cet exercice, Paul démontre que f, une fonction continue sur R², qui tend vers plus l'infini en moins l'infini et en plus l'infini, admet un minimum sur R. Pour trouver ce minimum, Paul applique les définitions des limites et choisit f de 0 comme valeur à analyser. Il en trouve deux valeurs, M1 et M2, et démontre que f est bornée sur leur segment commun. De plus, il montre que f de 0 est supérieur ou égal à tous les f de x, ce qui implique que f de x de 0 est un minimum de f sur R.

Salut c'est Paul et on se retrouve pour ce nouvel exercice sur la continuité comme définition globale. Et donc là on a f ici de R², une fonction continue telle que la limite en moins l'infini et la limite en plus l'infini c'est plus l'infini. Et donc on va devoir démontrer que f admet un minimum sur R. Donc déjà c'est assez intuitif parce que si f va en moins l'infini et f en plus l'infini il y a forcément un moment donné où il va y avoir un minimum, comme elle est continue. Donc il va falloir le démontrer. On voit qu'on a continue et un minimum. Une façon de trouver un minimum c'est de dire qu'elle est continue sur un segment donc elle est bornée. Mais comment on va faire apparaître le segment? Comment on va faire apparaître le fait qu'elle est continue sur un segment? Quel segment choisir? On va se rendre compte qu'avec la définition des limites on va pouvoir prendre un segment quelque part sur R. Et après le fait qu'elle soit, vu que ça tend vers plus infini au bout d'un moment elle va être plus grande qu'un certain minimum qui va être dans le segment ici. Et donc ça ne va plus être un problème le fait qu'elle tend vers plus infini et on va pouvoir se restreindre autour de ce minimum. Il va falloir bien choisir pour quelle valeur on applique les définitions des limites. Donc c'est parti. Donc là on applique les définitions des limites. L'astuce c'est de l'appliquer pour a reçoit f de 0. Pourquoi vous allez voir ensuite, je vais vous expliquer. Ça nous dit qu'il existe un M1 strictement inférieur à 0 tel que si x est plus grand que M1, f de x est plus grand que f de 0. Donc ça c'est la limite en plus infini. Et il existe un M2 strictement inférieur à 0 tel que quelque soit x inférieur ou égal à M2, f de x est supérieur ou égal à f de 0. Donc ça c'est la limite en moins l'infini. Donc pourquoi on a choisi f de 0? Parce que f de 0, 0 ici, il est entre M1 et M2 vu que M1 on l'a pris positif et M2 négatif. Donc 0 il va être entre M1 et M2. Donc ça c'est la relation des notes étoiles. Et maintenant on a notre segment M1 et M2. Et on va voir que f est continu sur son segment. Donc elle est bornée sur ce segment et entre autres il existe un x de 0 tel que f de x est supérieur à x de 0. Donc il y a un minimum sur ce segment vu qu'elle est bornée. De plus, 0, c'est pour ça qu'on a choisi f de 0, 0 appartient au segment M1 et M2. Donc f de 0 est supérieur à f de x de 0. C'est comme ça, c'est parce que 0 appartient à M1 et M2 que l'on va pouvoir s'assurer que tous les f de x qui sont en dehors de ce segment M1 et M2 vont bien être minorés par ce f de x de 0. Donc f de 0 est supérieur ou égal à f de x de 0. Et grâce à Ode relation étoile, ça nous implique que quelque soit x appartenant à R privé de M2 M1, f de x est supérieur ou égal à f de x de 0. Parce que tous ces f de x ici dans ces ensembles sont supérieurs ou égals à f de 0 et f de 0 lui-même est supérieur ou égal à f de x de 0. Ainsi, on devient supérieur à f de x de 0 au total. Donc on est supérieur à f de x de 0 et on est supérieur à f de x de 0 dans R privé de M2 M1 ici dans M2 M1. Ainsi, sur tout R, tous les f de x sont supérieurs à f de x de 0. Ainsi, c'est bien un minimum de f sur R. C'est la fin de cet exercice et on se dit à la prochaine fois!

Peu d'infos : trouver un max

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