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Dans cette vidéo, Mathis de Studio explique comment résoudre 14 équations trigonométriques en utilisant le cercle trigonométrique, qui est une image importante à connaître en mathématiques et en physique. Il recommande de dessiner le cercle trigonométrique et de se souvenir que pour trouver les solutions, il faut tourner d'un angle de pi à chaque fois. Il résout les équations pour le sinus, le cosinus et la tangente, et donne les ensembles des solutions sur R et sur 0 à pi pour chacune d'entre elles. Il explique également l'astuce pour trouver la tangente et donne des exemples de valeurs plus particulières pour les trigonométriques. Mathis souligne l'importance de connaître le cercle trigonométrique pour résoudre les équations rapidement et sans erreur.

Bonjour à tous, c'est Mathis de studio. Dans cette vidéo, on va faire le tour du cercle trigonométrique. En effet, on nous demande de résoudre 14 équations dans R puis dans 0 2pi, les équations suivantes, juste ici. Alors, il faut savoir d'ailleurs qu'on nous demande entre 0 et 2pi inclus, je vais à chaque fois faire 2pi exclu, comme ça, ça nous fait un seul tour sans boucler à 2pi. Ok, alors première équation, c'est parti, ne perdons pas de temps. Bien sûr, il va falloir connaître sur le bout des doigts son cercle trigonométrique, ça nous sert énormément en mathématiques, mais aussi beaucoup en physique. Donc à connaître cette image, vous devez l'avoir par cœur dans vos têtes. Et à partir de là, on va pouvoir résonner. Donc, à chaque fois, la clé de l'exercice est très très simple, mais peu de gens au final le font, c'est une manière très très simple de se souvenir. Il faut dessiner le cercle trigonométrique. Ça ne prend vraiment pas beaucoup de temps et ça ne se trompe quasiment jamais. Alors, le sinus du x qui est égal à 0, eh bien ça correspond à deux possibilités. On a ce point juste ici et ce point juste ici. Eh bien, pour y arriver à chaque fois, on tourne d'un angle de pi, donc ça veut dire que x est égal à k fois pi, k étant un entier relatif. Donc ça, c'est vraiment la méthode classique de résolution d'une égalité trigonométrique. Donc à partir de là, l'ensemble des solutions de cette équation sur R, c'est l'ensemble des k fois pi, k appartenant à z. En effet, à chaque fois que l'on se déplace de pi, le sinus est bien égal à 0 dans tous les sens. Et maintenant, on restreint sur 0 de pi exclu, eh bien les deux seules solutions sont 0 et pi qui sont représentées juste ici. Deuxième équation, sinus de x est égal à 1. Donc ici, le sinus, on le monte jusque 1. Eh bien, quand est-ce que c'est égal à 1? Il faut déjà se rendre à pi sur 2, et ensuite, toutes les fois possibles où l'on tourne de 2pi. Donc x ici est égal à pi sur 2 plus 2kpi, k étant un entier relatif. Donc l'ensemble des solutions, c'est l'ensemble des pi sur 2 plus 2kpi, k appartenant à z. Et puis l'ensemble sur 0 de pi, c'est égal à seulement le singleton pi sur 2. Ensuite, on va passer de l'autre côté. Le sinus de x est égal à moins 1, eh bien c'est exactement la même chose, sauf qu'on a du moins pi sur 2 au départ, et ensuite, on peut tourner de 2pi autant de fois que l'on veut. Donc, au niveau de l'ensemble des solutions, on remplace tout par un moins de pi. Et attention à la restriction sur 0 de pi. Ici, il faut se placer dans le tour du cercle trigo classique, et donc on doit se tourner de 3pi sur 2, car moins pi sur 2 n'est pas dans l'intervalle 0 de pi. OK. On passe au cosinus. Le cosinus, quand est-ce qu'il est égal à 1? Eh bien on le sait, c'est pour ce point juste ici. C'est donc 0, et puis à chaque fois, un nombre de tours du cercle trigo illimité. Donc c'est 2kpi, k appartenant à z. Voici l'ensemble des solutions sur r, et puis sur 0 de pi, la seule solution, eh bien c'est 0. Maintenant, quand est-ce que le cosinus est égal à moins 1? Eh bien, il faut se rendre de l'autre côté, et à chaque fois y tourner. Donc c'est pi plus 2kpi, k appartenant à z. Voici l'ensemble des solutions sur r, et sur 0 de pi, c'est seulement le singleton pi. Maintenant, quand est-ce qu'il est égal à 0? Donc le cosinus, bien sûr, on regarde l'axe des abscisses. Ici est égal à 0, et on a deux solutions sur 0 de pi, c'est pi sur 2 et 3pi sur 2. Maintenant, pour s'y rendre à chaque fois, on a juste à se déplacer de pi. Donc l'expression générique, c'est pi sur 2 plus kpi, k appartenant à z. Et donc l'ensemble des solutions sur r, c'est l'ensemble des pi sur 2 plus kpi, k appartenant à z. Ok, on passe à la tangente. Alors la tangente, il y a une astuce que me donnait mon professeur de sup de maths, qui était très très pratique, pour un peu sentir ce que c'est la tangente, et directement avoir des valeurs classiques. Alors la tangente, c'est quoi? Eh bien, si l'on représente un axe gradué ici comme ça, eh bien ça correspond à la valeur que l'on obtient, en projetant la droite, en continuant la droite, du point où l'on le se retrouve et l'origine, on la projette sur cette droite bleue. Je m'explique. Si l'on souhaite déterminer la tangente de ce point juste ici, eh bien on trace la droite qui passe par l'origine et ce point, et on la projette, on la continue sur la droite bleue. Donc au final, on obtient une tangente ici, on sait directement qu'elle est positive, et en plus, d'après la valeur classique, c'est 1. Mais ici, tangente est égale à 0, donc c'est à l'origine de la droite bleue, donc ça correspond exactement à cosinus est égale à 0, mais aussi, je n'ai pas rajouté de point rouge ici, si l'on continue la droite entre pi et l'origine, eh bien on tombe effectivement sur le 0 de la droite bleue. Donc finalement, c'est quand x est égal à kpi, k appartenant à z. L'ensemble des solutions sur r, c'est kpi, k appartenant à z, et puis sur 0 de pi, c'est 0 et pi. Maintenant, quand est-ce que la tangente est égale à 1? Eh bien, on a pour ce point-là, lorsqu'on tranche en deux parts égales, et puis juste ici aussi, si l'on continue avec la technique de la règle bleue. Donc au final, c'est l'ensemble des pi sur 4 plus un nombre infini de fois pi. Donc c'est pi sur 4 plus k fois pi, k appartenant à z. Donc l'ensemble des solutions, c'est pi sur 4 plus kpi, k appartenant à z, sur 0 de pi, c'est donc pi sur 4, 5pi sur 4. Maintenant, quand est-ce que le sinus, on rentre dans des valeurs un peu plus particulières, quand est-ce que le sinus est égal à 1,5? Eh bien, on se place bien à la moitié de ce segment juste ici, et donc on a très peu se déplacer au début. On a effectivement du pi sur 6 plus 2kpi, ou bien 5pi sur 6 plus 2kpi. Donc on se place à pi sur 6 et on fait autant de tours que l'on veut, ou alors on se place à 5pi sur 6 et on fait autant de tours que l'on veut. Ok, l'ensemble des solutions sur R, c'est pi sur 6 plus 2kpi, k appartenant à z, et attention, union, l'ensemble des 5pi sur 6 plus 2kpi, k appartenant à z. Donc c'est très important ici de faire l'union de ces deux ensembles, car les deux ensembles sont solution de l'équation. Et si on restreint juste à 0 de pi, eh bien c'est pi sur 6, 5pi sur 6. Maintenant, quand est-ce qu'il est égal à moins 1 sur racine de 2? Eh bien ici ce sont les valeurs classiques de moins pi sur 4 et moins 3pi sur 4, bien sûr toujours à 2pi près. Donc on obtient ces solutions, et puis lorsqu'on restreint à 0 de pi, on doit aller à 5pi sur 4 et 7pi sur 4. Quand est-ce maintenant que la tangente est égale à moins 1? Eh bien, on a juste à partir de moins 1, c'est la droite bleue, puis couper en deux ici ces différentes parts du disque, et donc on obtient bien moins pi sur 4 et puis 3pi sur 4. Donc au final, on peut se déplacer de pi à chaque fois et ça boucle. Donc l'ensemble des solutions sur R, c'est moins pi sur 4 plus kpi, k appartenant à z. Et sur 0 de pi, eh bien c'est 3pi sur 4, 7pi sur 4. On arrive au bout. Quand est-ce que la tangente est égale à 1 sur racine de 3? Et c'est là que ça commence à devenir intéressant, puisque on sait que 1 sur racine de 3, c'est plus petit que 1, mais ça reste dans les valeurs classiques. Donc on se place en dessous de 1, et on fait la technique de la droite bleue, et donc on obtient les valeurs classiques de pi sur 6 et puis 7pi sur 6. Donc au final, l'ensemble des solutions, c'est pi sur 6 plus kpi, et puis sur 0 de pi, c'est pi sur 6 et 7pi sur 6. Alors quand est-ce que le cosinus est égal à racine de 3 sur 2? Eh bien on se place ici aux deux extrémités. D'ailleurs, le cercle n'est pas bon, puisque le cosinus, ça ne correspond pas à l'ordonnée, mais à l'abscisse. Et on obtient donc les deux solutions, pi sur 6 et 11pi sur 6. Au final, quand est-ce que le cosinus est égal à moins 1 sur racine de 2? Eh bien ici, c'est quand x est égal à 3pi sur 4, ou quand x est égal à moins 3pi sur 4, à 2pi près toujours. Donc on obtient les différents ensembles de solutions pour cette équation. Voilà, donc on peut vraiment dire qu'on a fait le tour des équations du cercle trigonométrique. C'est très important de savoir s'y référer, et ça ne prend vraiment pas beaucoup de temps, de tracer sur votre tableau, sur votre copie, on peut le faire au brouillon si on veut. Ça montre que l'on sait résonner avec en très peu de temps. C'est très important pour ne pas se tromper. Donc méthode à bien retenir, et à partir de là, on arrive à jongler à partir des valeurs de référence. Merci beaucoup d'avoir suivi cette vidéo, et puis je vous dis à bientôt!

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