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Trigonométrie

Dans cette vidéo, Mathis résout des équations trigonométriques en R et dans des intervalles spécifiques. Pour la première équation sin2x = 1/2 sur 0 à Pi, il utilise l'équivalence de la formule du sinus pour résoudre l'inégalité. Pour la deuxième équation tangente de 5x = 1, il divise le résultat par 5 pour trouver la solution de x. Pour la troisième équation la valeur absolue de cosNx = 1, il divise le résultat par N pour obtenir x. Pour la quatrième équation sinus 2x + sinus x = 0, il utilise la formule trigonométrique pour factoriser par sinus x et trouver la solution. Enfin, pour la dernière équation 12cos²x - 8sin²x = 2, il utilise la formule trigonométrique pour se ramener à des égalités plus simples. Mathis explique également qu'il ne faut pas avoir peur des arguments inhabituels des équations et qu'il faut utiliser les formules pour résoudre les équations avec des sinus et des cosinus mélangés. L'ensemble des solutions pour chaque équation est donné pour R et pour l'intervalle donné.

Bonjour à tous, c'est Mathis de studio. Dans cette vidéo, on va résoudre nos premières équations trionométriques. On nous demande de résoudre dans R, puis dans l'intervalle I demandé, les équations suivantes, à commencer par sin2x qui est égal à 1 demi sur 0 de Pi. Alors, ici, ce qui nous dérange par rapport à d'habitude, c'est que l'argument du sinus, c'est 2x. Donc, on n'est pas très à l'aise avec ça. Et bien, en fait, il n'y a vraiment aucun souci à avoir. C'est comme si on posait une inconnue, y qui valait 2x, mais alors le sinus de y est égal à 1 demi. Et bien, on sait le faire. Donc, il n'y a pas de souci. Lorsqu'on résout cette inégalité, le sinus de quelque chose qui est égal à 1 demi, on sait, c'est lorsque ce quelque chose est congru à Pi sur 6 modulo 2 Pi, ou est congru à 5 Pi sur 6 modulo 2 Pi. Donc, on continue à raisonner en équivalence avec ce ou. Ça veut dire que x, d'après le principe des congruences, lorsqu'on divise par 2, et bien, c'est x est congru à Pi sur 12 modulo Pi, ou 5 Pi sur 12 modulo Pi. Ainsi, ça y est, on est arrivé. L'ensemble des solutions de E sur R, et bien, c'est la réunion de deux ensembles. Tout d'abord, l'ensemble des Pi sur 12 plus Kpi, K appartenant à z, union l'ensemble des 5 Pi sur 12 plus Kpi, K appartenant à z. Et maintenant, si on recense les solutions sur 0 de Pi exclu, et bien, c'est Pi sur 12. Il ne faut pas regarder ce cercle-là. Il faut regarder les solutions ici, en essayant différentes valeurs de K. Et bien, les seules que l'on trouve, c'est Pi sur 12 et 5 Pi sur 12. Très bien. Maintenant, la deuxième équation, tangente de 5x est égale à 1. Et bien, de la même manière, il ne faut pas avoir peur du 5x qu'il y a à l'intérieur du tangente. Tangente de quelque chose est égale à 1, et bien, on sait ce que ça veut dire. On peut mettre ça sous forme d'équation. Ça veut dire que ce quelque chose, ici c'est 5x, est congru à Pi sur 4 modulo Pi. Et donc, en divisant par 5, ça veut dire que x est congru à Pi sur 20 modulo Pi sur 5. L'ensemble des solutions de E dans R, c'est l'ensemble des Pi sur 20 plus K Pi sur 5, K appartement à Z. Et sur 0 Pi, et bien, c'est Pi sur 20, Pi sur 4, 9 Pi sur 20, 13 Pi sur 20, et 17 Pi sur 20. Donc, il faut itérer sur les différents cas, et regarder quand est-ce qu'on s'éloigne de l'intervalle de monde. Troisième équation, la valeur absolue de cosinus de Nx est égale à 1. Alors, si l'on se penche là-dessus, ça veut dire que cosinus de Nx, et bien, c'est égal à 1 ou moins 1. Dans les deux cas, ça vérifie la relation. Donc, on se retrouve tout simplement à avoir un cosinus qui vaut 1 ou moins 1, et bien, ça veut dire que Nx est congru à 0 modulo Pi. Et donc, en divisant par N, qui n'est pas nul, et bien, X est congru à 0 modulo Pi sur N. Donc, attention, maintenant, en passage d'écriture, l'ensemble des solutions de E sur R, c'est l'ensemble, du coup, des 0 plus K Pi sur N, K appartenant à Z. Très bien. Quatrième équation, on rentre dans quelque chose d'un peu plus subtil, sinus de 2x plus sinus x est égal à 0. Alors là, on mélange des sinus qui n'ont pas les mêmes arguments. Donc, on va utiliser pour cela, à chaque fois la méthode de base, c'est d'utiliser des formules trigonométriques. Donc, au final, si on résout cette équation, c'est équivalent à 2 sinus de x cos x plus sinus x est égal à 0. A ce moment-là, on peut factoriser par sinus x, et donc, un produit est nul si et seulement si l'un ou l'autre de ces facteurs est nul. Donc, on a soit sinus x qui est égal à 0, soit cos x qui est égal à moins 1 demi. Donc, le premier cas, ça nous donne ceci, et puis, le deuxième cas, ça nous donne cela. Alors, l'ensemble des solutions de E sur R, c'est donc l'union ici de deux ensembles, mais même le deuxième ensemble est une union de deux ensembles. Donc, pour sin x égal à 0, c'est l'ensemble des kpi qui appartiennent à z, et puis cos x est égal à moins 1 demi, il y a deux cas. Soit c'est les 2pi sur 3 plus 2kpi, soit c'est les moins 2pi sur 3 plus 2kpi, et on restreigne l'ensemble suivant. Dernière équation, 12 cos² de x moins 8 sin² de x est égal à 2. Alors là, de la même manière, ça mélange les cos et les sinus, on n'est pas du tout au clair sur ça. Donc, on va utiliser la formule trigonométrique pour se ramener à des choses un peu plus convenables. Donc, cos kx, c'est bien sûr 1 moins sin kx, et donc on obtient, en simplifiant, que cette expression est équivalente à ce que le sin² de x soit égal à 1 demi. Ça veut donc dire deux choses, soit sin x est égal à racine de 2 sur 2, soit sin x est égal à moins racine de 2 sur 2, attention à bien identifier le deuxième cas. Et donc ici, on a au final 4 situations qui se présentent, et ces 4 situations sont toutes atteignables, un écart à chaque fois de pi sur 4. Donc, l'ensemble des solutions de E dans R, c'est l'ensemble des k pi sur 4, k appartenant à z. Donc ici, il ne faut pas oublier, je viens de voir que pour k est égal à 2, ce qui nous donne pi sur 2, ce n'est pas bon. Donc, à chaque fois, il faut partir en évitant ces cas juste ici. Donc, je vous laisse le rectifier de votre côté. Par contre, l'ensemble des solutions de E sur moins pi pi, ce sont l'ensemble des solutions moins 3 pi sur 4, moins pi sur 4, pi sur 4, et puis finalement 3 pi sur 4. Voilà, c'est la fin de notre premier tâtonnement avec les équations trigonométriques. Donc, deux choses à retenir principalement. Tout d'abord, ne pas avoir peur lorsque l'argument est différent d'un argument habituel, simple, inconnu. Il n'y a pas de soucis, on se dit que la fonction de quelque chose est égale à ça, ça veut dire que quelque chose est égal à ça, et à partir de là, on résonne sur les équations que l'on a obtenues. Et puis, on a commencé à voir que lorsque l'on a du cosinus et du sinus de mêlée, ou lorsqu'on a du sinus et un autre sinus qui n'a pas le même argument de mêlée, il faut utiliser les formules trigonométriques dont on dispose pour se ramener à des cas plus classiques. Merci beaucoup d'avoir suivi cette vidéo, et puis je vous dis à bientôt!

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