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Calculs de limites complexes

Bonjour à tous, aujourd'hui nous allons étudier des exercices avancés sur les limites. Ce cours s'adresse principalement à ceux qui souhaitent se préparer pour l'année prochaine. Le premier exemple concerne les racines. Lorsque l'on rencontre des racines dans un exercice, il faut penser à utiliser la quantité conjuguée. Dans cet exemple, nous avons une forme d'indétermination avec des racines infinies. En utilisant la quantité conjuguée, nous pouvons simplifier l'expression et trouver la limite de la fonction. Dans le deuxième exemple, nous avons une expression avec des puissances. En utilisant la dérivée, nous pouvons simplifier l'expression et trouver la limite de la fonction. Le troisième exemple concerne la partie entière. En utilisant des encadrements, nous pouvons déterminer la limite de la fonction. Le quatrième exemple est similaire au premier, avec de nombreuses racines. En utilisant la quantité conjuguée et des simplifications, nous pouvons trouver la limite de la fonction. En résumé, ces exemples montrent différentes techniques pour calculer des limites dans des expressions complexes.

Asymptote et position relative

Ce cours est une transcription d'une vidéo qui traite de l'étude de fonctions, notamment l'étude d'asymptotes et de positions relatives. Le professeur commence par dire que l'exercice choisi est une fonction classique et qu'il souhaite rappeler les réflexes à avoir pour bien le maîtriser. Il fait remarquer que lorsqu'on voit f(x) écrit comme f2x, il faut immédiatement factoriser. Il explique que lorsqu'on étudie les limites en plus ou moins l'infini, on peut considérer que les constantes à côté de x n'ont pas d'importance. Ainsi, il simplifie rapidement la fonction en x/2x, ce qui donne 1,5. Ensuite, il aborde la réécriture des fonctions inverses, en manipulant le numerator pour que le denominator soit égal à x+4. Il sépare alors la fraction en deux et obtient une expression plus pratique à travailler. Cette écriture permet de répondre rapidement à la question 1, en identifiant les asymptotes horizontales et verticales. Ensuite, il explique que l'expression simplifiée de la fonction facilite également la réponse à la question 2, en trouvant la position relative de la fonction par rapport à l'asymptote horizontale. Il conclut en insistant sur l'importance d'intuiter et de repérer rapidement les asymptotes et les limites pour bien étudier une fonction.

Étude TRES complète

Il est important d'écrire en français ce que vous voulez faire, car une racine n'est définie que pour des nombres positifs ou nuls sur R+. Donc, il faut que ce qu'il y a sous la racine soit positif ou nul. En gros, cela signifie que x doit être supérieur à 1 ou inférieur à -1. En plus de cela, la fonction est définie comme un quotient, donc il faut également s'assurer que la racine de x²-1 soit différente de 0 pour éviter de diviser par 0. Pour trouver les limites, nous pouvons utiliser deux étapes. Cependant, il est important de ne pas seulement exclure les valeurs -1 et 1, car cela ne fonctionne pas dans tous les cas. Par exemple, si nous prenons x = 0.5, nous obtenons un résultat négatif, ce qui ne fonctionne pas. L'ensemble de définition (DF) de la fonction comprend quatre bornes. Il est important de faire attention à celles-ci. Il est également utile de vérifier si la fonction est impaire ou paire, car cela peut réduire le travail à effectuer. Si la fonction est impaire, cela signifie que la courbe de la fonction possède un point de symétrie au point O. Par conséquent, si nous comprenons comment la fonction évolue de 0 à l'infini, nous pouvons automatiquement déduire son évolution de moins l'infini à 0. Maintenant, passons aux calculs des limites. Nous commencerons par les limites de droite, c'est-à-dire 1 par la droite et l'infini. Lorsque x tend vers l'infini, x²-1 se rapproche de x² et la racine carrée de x² est égale à x. Ainsi, nous obtenons x/x, ce qui est environ égal à 1 lorsque x tend vers l'infini. Par symétrie, nous pouvons en déduire que lorsque x tend vers moins l'infini, la limite de la fonction sera -1. Pour la limite en 1 par la droite, nous pouvons voir que lorsque x est légèrement supérieur à 1, x²-1 est toujours positif, ce qui signifie que nous pouvons définir la racine carrée. Cela nous donne 1/0+, ce qui est autorisé. Par symétrie, cela signifie que lorsque x tend vers moins 1 par la gauche, la limite de la fonction est également autorisée et égale à -1. Maintenant, passons à la limite en moins l'infini. Ici, nous devons faire attention à la racine de x², car lorsque x est négatif, la racine de x² devient la valeur absolue de x. Donc, lorsque x tend vers moins l'infini, nous obtenons la valeur absolue de x, qui est légèrement supérieure à 1. Ainsi, nous pouvons dire que lorsque x tend vers moins l'infini, la racine carrée de x²-1 tend vers 0+. En utilisant ces limites, nous pouvons conclure que la fonction a une asymptote horizontale en y = 1 pour les limites en plus l'infini, une asymptote verticale en y = -1 pour les limites en 1 par la droite, une asymptote verticale en y = -1 pour les limites en 1 par la gauche, et une asymptote verticale en y = -∞ pour les limites en moins l'infini.

Asymptote oblique

Lors de ce cours sur les asymptotes obliques, l'élève mentionne qu'il a vu ce sujet en première année et qu'il était hors programme à l'époque. Cependant, il explique que les asymptotes obliques sont souvent utilisées et qu'il est important de les maîtriser. Il effectue ensuite des calculs pour simplifier une fonction et déterminer une asymptote oblique. Il explique également comment étudier les variations de la fonction et calcule les limites aux extrêmes de l'intervalle. Enfin, il aborde la question des asymptotes verticales et horizontales, ainsi que la position relative de deux fonctions.

Croissance comparée plus lourde

Ce cours porte sur la croissance comparée en utilisant la fonction exponentielle. L'auteur explique notamment comment comparer la fonction exponentielle avec une autre puissance en utilisant le facteur le plus important, qui est E de x. En simplifiant cette expression, on obtient 1-E de x. Il est facile de gérer cette expression car E de x tend vers 0 lorsque x tend vers l'infini. De plus, l'exponentielle de moins x tend également vers 0 lorsque x tend vers l'infini. En utilisant ces concepts, on peut déduire que E de x sur x puissance 6 tend vers l'infini lorsque x tend vers l'infini. Cependant, il faut noter que cette tendance est inverse pour x6 sur E de x. En résumé, il est important de savoir que ces expressions tendent vers 0 lorsque x tend vers l'infini.

Difficile : BAC 2009

Ce cours porte sur une étude de fonction, plus précisément sur une fonction exponentielle. Le professeur explique comment trouver la limite de la fonction lorsque x tend vers l'infini et montre comment utiliser la croissance comparée pour résoudre ce problème. Ensuite, il procède à une analyse de la dérivabilité de la fonction et montre comment calculer la dérivée. En utilisant les propriétés de la dérivée, il détermine les intervalles où la fonction est positive ou nulle. Enfin, il construit un tableau de variations de la fonction et détermine le maximum de la fonction en une valeur spécifique de x. Il donne également la valeur de la fonction à cet endroit.

Exp : indéterminée en -∞

Le cours porte sur la démonstration d'une formule mathématique. L'exercice consiste à appliquer les règles des puissances pour simplifier l'expression. Ensuite, en utilisant certaines formules mathématiques connues, on peut conclure que la courbe a une asymptote horizontale à y=1. Enfin, on étudie les variations de la dérivée de la fonction et on montre qu'elle est positive ou nulle pour certains intervalles de x. On conclut en donnant les limites et asymptotes de la fonction.

Vers la SUP : Quantité conjuguée

L'exercice en question concerne le calcul d'une somme avec une limite infinie. Il est important de comprendre que c'est la variable x qui tend vers l'infini, pas le nombre d'éléments n de la somme. Pour faciliter le calcul, on peut utiliser la méthode de la quantité conjuguée, qui consiste à prendre une différence de racines. Dans ce cas, les n termes de la somme peuvent être compensés par des racines supplémentaires. En réorganisant les termes, on obtient une identité remarquable qui facilite le calcul. Finalement, en remarquant que tous les termes tendent vers zéro, on peut conclure que la somme tend vers zéro lorsque x tend vers l'infini. Il est important de ne pas se laisser distraire par des erreurs courantes, comme confondre le n avec le x, et de prendre le temps d'analyser calmement les différentes méthodes à appliquer.

Quantité conjugée piégeuse

Le cours aborde la notion de quantité conjuguée dans le domaine des mathématiques. L'orateur explique qu'il est important de ne pas confondre une quantité conjuguée avec une simple addition ou une différence de racines. Il propose ensuite une méthode pour traiter une certaine équation en séparant la fraction en deux parties distinctes. Il utilise ensuite la quantité conjuguée pour simplifier le calcul et parvient à obtenir une expression plus simple. Il conclut en donnant le nom de la fonction étudiée et son comportement lorsque x tend vers a.

Déf formelle

La continuité en un point se définit comme suit : une fonction f est continue en un point a si et seulement si la limite finie de f(x) lorsque x s'approche de a est égale à f(a). Si cette condition est remplie pour tous les points d'un intervalle donné, on peut alors dire que la fonction est continue sur cet intervalle. Une façon de comprendre cette notion de limite finie en un point est d'imaginer que l'on souhaite observer le comportement de la fonction lorsque x se rapproche de la valeur a. La fonction admet une limite l lorsque x tend vers a si, pour n'importe quel intervalle de taille donnée, il est possible de trouver un intervalle autour de a dans lequel les valeurs de la fonction sont toutes comprises dans l'intervalle initial. En résumé, la continuité d'une fonction signifie que sa limite finie est égale à la valeur en ce point.

Discontinuités : exemples

La continuité d'une fonction est définie par le fait qu'il existe une limite finie en un point et que cette limite correspond à la valeur de la fonction en ce point. Pour illustrer cela, on peut utiliser un graphe de continuité. Une discontinuité peut se présenter de différentes manières. Dans un premier exemple, il peut s'agir d'une discontinuité par non-existence ou non-définition du point. Par exemple, si on prend la fonction 1/x, le point zéro n'est même pas défini, donc la fonction n'est pas continue en ce point. Dans un autre exemple, on peut avoir une discontinuité avec un saut. Par exemple, si on prend une fonction définie par une parabole à gauche et une parabole à droite qui ne sont pas connectées, il y a un saut au point de jonction. Dans ce cas, il est impossible de trouver un couloir vertical tel que toutes les valeurs de la fonction dans ce couloir soient dans le couloir orange. Enfin, il peut y avoir une discontinuité avec un saut rattrapable. Par exemple, si on prend la fonction sinusX/X, elle n'est pas définie en zéro, mais on peut définir une valeur pour ce point qui permette de prolonger la fonction de manière continue. Il existe donc un point de continuité où la valeur de la fonction est 1 en zéro. Ces différents exemples illustrent les différentes formes de discontinuité et montrent que certaines peuvent être rattrapables par une valeur appropriée au point de saut.