Cours de Théorèmes de Bézout et de Gauss en Ligne par les Meilleurs Professeurs - Théorèmes de Bézout et de Gauss

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Dans cet exercice, on veut savoir si 59 et 27 sont premiers entre eux, c'est-à-dire s'ils n'ont pas de diviseur en commun. Pour le déterminer, on regarde la décomposition en facteur premier de chacun des nombres et on cherche s'il y a un nombre premier en commun. Pour 27, on trouve que le seul nombre premier dans sa décomposition est 3. Donc, s'ils ont un diviseur commun différent de 1, il doit être un multiple de 3. Mais 3 ne divise pas 59, donc leur PGCD vaut 1 et ils sont premiers entre eux.

Équation diophantienne

Dans cet exercice, on résout une équation de D'Ouffantienne 13x+9y=2 en rappelant que l'équation admet une solution entière si le PGCD des coefficients devant x et y divise c. Puis, on utilise l'algorithme de Clide pour trouver une solution particulière (-4,6). Enfin, pour trouver l'ensemble des solutions, on utilise la formule x= solution particulière +9k et y=6-13k.

Fraction irréductible

Dans cet exercice mathématique, on prouve que la fraction 9n+1/6n+1 est irréductible pour tout entier n. Pour démontrer cela, il faut rappeler que pour qu'une fraction soit irréductible, le PGCD du numérateur et du dénominateur doit être égal à 1. On utilise également le théorème de Bézout, qui dit que le PGCD de deux nombres est égal à 1 s'il existe deux coefficients u et v qui vérifient certaines conditions. En développant la fraction et en cherchant les coefficients u et v qui conviennent, on trouve que la solution est u=-2 et v=3. En utilisant le théorème de Bézout, on prouve que la fraction est irréductible pour tout n.

Système congruences et Bezout

Dans cet exercice, il s'agit de résoudre un système de congruence en utilisant les équations de Dioff-Ancienne. Le système en question est X congruent à 1 modulo 11, et X congruent à 3 modulo 4. On montre que ce système peut être résolu en trouvant une solution pour l'équation 11U plus 4V est égal à 2. On commence par exprimer X en termes de U et V, puis on résout l'équation diophantienne correspondante. On trouve une solution particulière et on généralise les solutions pour obtenir l'ensemble des solutions possibles. Enfin, on déduit les solutions du système initial en trouvant X congruent à 23 modulo 44.

Coordonnées entières

Dans cet exercice, on utilise les équations diophantiennes pour montrer que le point M appartient à la droite à B en utilisant les vecteurs AM et AB qui doivent être collinéaires. On obtient l'équation diophantienne 3x-5y=11, qui admet des solutions entières et une solution particulière (7,2). L'ensemble des solutions pour les coordonnées entières appartenant à la droite à B est donné par x=5k+7 et y=3k+2.

√2 est irrationnel : démo

Dans cet exercice, on démontre que la racine de 2 est irrationnelle en utilisant le raisonnement par l'absurde. On suppose que la racine de 2 est rationnelle, c'est-à-dire qu'elle peut s'écrire sous forme de p/q, avec p et q premiers entre eux. En faisant des calculs, on obtient une contradiction, parce que p et q sont tous les deux pairs, ce qui contredit le fait qu'ils soient premiers entre eux. Donc, la racine de 2 ne peut pas être écrite sous forme de p/q avec p et q premiers entre eux, et donc elle est irrationnelle.

Solutions entières et récurrence

Dans cet exercice mathématique, nous devons trouver des solutions à une équation diophantienne restreinte aux valeurs positives. Nous devons montrer que si S est supérieur à 4, il y a au moins une solution. Si S est entre 0 et 4, nous devons déterminer les valeurs pour lesquelles il y a au moins une solution. Si Y est non nul, on est plus grand que S. Donc Y doit être égal à 0 et X doit être entre 0 et 2. Les valeurs possibles pour S pour avoir des solutions sont 0, 2 et 4. Pour montrer que si S est supérieur ou égal à 4, l'équation admet au moins une solution dans N², nous utilisons la récurrence. Nous montrons que P de 4 est vrai et que P de S plus 1 est vrai si P de S est vrai. Nous distinguons le cas où Y est égal à 0 et où Y est supérieur ou égal à 1. Nous montrons que l'équation admet au moins une solution dans N² si S est supérieur ou égal à 4.