Cours de Primitives et équations différentielles en Ligne par les Meilleurs Professeurs - Primitives et équations différentielles

Reconnaissance de formes

Dans cette vidéo, Matisse de Studio nous montre comment déterminer des primitives de fonctions sur un intervalle donné. Pour cela, il nous explique deux méthodes. La première, un peu bruteforce, consiste à tout développer, ce qui prend beaucoup de temps. La deuxième méthode consiste à repérer une forme particulière de fonction à une puissance donnée et à faire apparaître sa dérivée dans l'expression grâce à des calculs. Ensuite, on peut appliquer des formules de référence pour déterminer la primitive. Matisse applique cette méthode à plusieurs exemples de fonctions pour illustrer cette démarche. Il rappelle également l'importance de connaître les formules de référence pour les fonctions usuelles telles que les puissances, les racines et les logarithmes.

Intégration par parties 1

Dans cette vidéo, Matisse de Studio explique comment résoudre deux intégrales en utilisant la méthode d'intégration par parties. Pour la première intégrale, il calcule l'intégrale de 0 à 1 de x exponentielle x dx en choisissant x comme sa fonction u et exponentielle de x comme sa fonction v'. Ensuite, il calcule les fonctions correspondantes et vérifie les hypothèses nécessaires avant d'appliquer le théorème d'intégration par parties pour trouver la réponse de l'intégrale, qui est égale à 1. Pour la deuxième intégrale, Matisse utilise la même méthode en choisissant ln de x comme sa fonction u et x carré comme sa fonction v'. Il calcule les fonctions correspondantes, vérifie les hypothèses et applique le théorème d'intégration par parties pour trouver la réponse de cette intégrale, qui est égale à 2 neuvième de e3 plus 1 neuvième. Il souligne également l'importance de bien retenir la syntaxe d'intégration par parties et de vérifier les hypothèses pour éviter les erreurs.

Intégration par parties 2

Dans cette vidéo, nous abordons le sujet des primitives pas très usuelles en mathématiques. Nous commençons par le cas de la fonction Arc Tangente. Pour déterminer une primitive de cette fonction, nous utilisons le théorème fondamental de l'analyse, qui permet de trouver automatiquement une primitive. Plus précisément, une primitive de Arc Tangente est donnée par l'intégrale de 0 à x de Arc Tangente de t dt. Pour calculer cette intégrale, nous utilisons la technique de l'intégration par parties. En posant u = Arc Tangente de t et v' = 1, nous obtenons une expression simplifiée de l'intégrale. En effectuant les calculs nécessaires, nous obtenons finalement une primitive de Arc Tangente, qui est donnée par la fonction x Arc Tangente de x - 1/2 ln(1 + x²). Nous passons ensuite à la détermination d'une primitive de ln(x²). Encore une fois, nous utilisons le théorème fondamental de l'analyse pour poser l'intégrale à calculer. En utilisant l'intégration par parties avec u = ln(t) et v' = ln(t), nous obtenons une expression simplifiée de l'intégrale. En effectuant les calculs, nous trouvons une primitive de ln(x²), qui est donnée par la fonction x ln(x)² - 2x ln(x) + 2x. Enfin, nous abordons le cas de la fonction sinus(ln(x)). En utilisant à la fois l'intégration par parties et le théorème fondamental de l'analyse, nous obtenons une expression intégrée de cette fonction. En effectuant les calculs, nous trouvons une primitive de sinus(ln(x)), qui est donnée par la fonction 1/2 x sinus(ln(x)) - x cosinus(ln(x)). En conclusion, lorsque nous sommes confrontés à des fonctions dont les primitives ne sont pas usuelles, nous pouvons utiliser le théorème fondamental de l'analyse pour poser l'intégrale à calculer. Ensuite, nous pouvons appliquer des techniques comme l'intégration par parties ou le changement de variable pour simplifier cette intégrale et déterminer la primitive de la fonction donnée.

Changement de variables 1

Dans cette vidéo, Matisse de Studio montre comment effectuer des changements de variables pour calculer des intégrales. La première intégrale est l'intégrale de 1 à 4 de 1-√t sur √dt, qu'il nomme i. Il utilise la formule de changement de variable pour résoudre l'intégrale, en posant x égal à φt qui est égale à √t. En effectuant les étapes nécessaires, il obtient la valeur de i, qui est moins 1. La deuxième intégrale est l'intégrale de 0 à π de sin2t sur 1 plus cos²t dt, qu'il résout en posant x égal à cos2t. En vérifiant les hypothèses requises, il utilise le théorème de changement de variable pour obtenir la valeur de l'intégrale, qui est π sur 2. Enfin, la troisième intégrale est l'intégrale de 1 à e de 1 sur 2t ln de t plus t dt, qu'il résout en posant x égal à ln de t. Après avoir effectué les calculs nécessaires, il obtient que la valeur de l'intégrale est ln de 3 sur 2. Matisse souligne l'importance de bien maîtriser les changements de variables en adaptant la syntaxe et en les réutilisant de façon appropriée.

Changement de variables 2

Dans cette vidéo, Mathis de Studio aborde les changements de variables en calculant des intégrales. Pour ce faire, il utilise la démarche type de l'intégrale de f de phi de t phi prime de t dt qui est égale à l'intégrale de f de u du. Il pose plusieurs variables, telles que x qui vaut exponentielle t pour l'intégrale de 0 à 1 de 1 sur 1 plus exponentielle t dt, et t qui vaut sinus de θ pour l'intégrale de moins 1 à 1 de racine de 1 moins t² dt. Il vérifie les hypothèses du changement de variable pour chaque cas et utilise des méthodes mathématiques pour résoudre les intégrales, telles que la décomposition en éléments simples et la formule trigonométrique pour calculer l'intégrale de cos² θ dt. Il rappelle également l'importance de s'adapter à chaque cas et de suivre la dynamique des changements de variables. Au final, il obtient les résultats suivants : l'intégrale de 0 à 1 de 1 sur 1 plus exponentielle t dt est égale à 1 plus ln de 2 moins ln de e plus 1, l'intégrale de 1 à 3 de racine de t sur 1 plus t dt est égale à racine de 3 moins 1 moins pi sur 12, et l'intégrale de moins 1 à 1 de racine de 1 moins t² dt est égale à pi sur 2.

Décomposition en éléments simples

Le cours traite de la détermination de primitives de fractions polynomiales en utilisant deux méthodes différentes en fonction du discriminant du dénominateur. Si le discriminant est strictement négatif, la mise sous forme canonique est utilisée pour résoudre le problème, tandis que si le discriminant est supérieur ou égal à zéro, la méthode de décomposition en éléments simples est utilisée. Plus précisément, l'intégrale de référence de 1 sur x² plus a² est utile pour résoudre certaines primitives. Pour x² plus 4x plus 5, la forme canonique est utilisée pour obtenir la primitive. Pour 1 sur 1 moins x², la décomposition en éléments simples est utilisée pour obtenir la primitive. Enfin, le cours donne un exemple de ce qu'il faut faire si le dénominateur contient à la fois des termes linéaires et quadratiques. Les deux méthodes aboutissent à des primitives différentes, sous forme de RLN ou d'arc-tangente.

Primitives et récurrence

Dans cette vidéo, Matisse de Studio explique comment calculer une série d'intégrales pour tout nombre m. La première question consiste à exprimer l'intégrale suivante en fonction de la précédente : I m+1 =∫0¹( dx/(x²+1) )^m+1. Pour cela, on ne doit pas chercher à utiliser une intégration par parties, mais plutôt dériver l'intégrale pour trouver la réponse. En utilisant la méthode du plus 1 moins 1 pour comparer le numérateur et le dénominateur, on peut trouver la relation entre I m et I m+1 . Pour calculer I3, on peut utiliser la valeur calculée de I2 pour trouver la réponse, et ainsi de suite. Finalement, la vidéo donne la formule pour calculer I m+1 en fonction de I m , ce qui permet de calculer une infinité d'intégrales. La méthode d'intégration par parties et la technique du plus 1 moins 1 sont deux astuces importantes pour réussir ce type d'exercice.

Les complexes à l'aide !

Dans cette vidéo, Matisse de Studio traite d'une intégrale imaginaire en utilisant la propriété du cosinus qui n'est qu'une partie d'une exponentielle complexe. En se rappelant cette propriété et en utilisant des propriétés d'intégrales, il parvient à se ramener à un produit de seulement deux fonctions. Il utilise ensuite l'intégration par partie pour calculer cette intégrale et obtenir l'expression finale. Il conclut en recommandant la méthode d'exprimer le cosinus en fonction exponentielle, ce qui peut faciliter la résolution de problèmes complexes. Enfin, il donne l'expression finale de l'intégrale.

Intgérales de Wallis

Dans cette vidéo, on aborde le calcul des intégrales de Wallis. Pour commencer, on pose Wn, qui est l'intégrale de 0 à pi/2 de sin(nx) dx. On nous demande tout d'abord de calculer W0 et W1. En appliquant la formule, on trouve que W0 = pi/2 et W1 = 1. Ensuite, on nous demande de trouver une relation entre Wn et Wn+2. En utilisant l'intégration par parties, on dérive sin(n+1)x pour obtenir sin(nx). Après avoir simplifié, on obtient Wn+2 = (n+1)/(n+2) * Wn. Enfin, on nous demande de déduire W2n et W2n+1 en fonction de n. En remontant les rangs, on obtient que W2n = (2^n * (n!)^2 * pi) / (2n+1)!. De même, W2n+1 = (2^n * (n!)^2) / (2n+1)!. Cette méthode, bien que complexe, est importante à connaître pour les intégrales de Wallis.

Récurrence costaude

Bonjour à tous ! Dans cette vidéo, nous allons calculer des sommes à l'aide d'intégrales. Nous commençons par poser IN, qui est l'intégrale de 0 à pi/4 de la tangente du x à la puissance n, dx. Nous devons calculer I0 et I1, puis trouver une relation entre IN et IN+2. Enfin, nous déduirons une expression de IN en fonction de n. I0 est égal à l'intégrale de 0 à pi/4 de la tangente à la puissance 0, donc égal à 1. I1 est l'intégrale de 0 à pi/4 de la tangente, que nous pouvons exprimer comme le quotient sinus/cosinus. En effectuant le calcul, nous trouvons que I1 est égal à 1,5 ln(2). Pour trouver une relation entre Im et Im+2, nous utilisons une astuce consistant à écrire Im+2 comme la différence entre tangente de n+2 et tangente de n+2 de x. Nous faisons ensuite un changement de variable en posant phi égal à la tangente de x. Cela nous permet d'obtenir une expression simplifiée de Im. En utilisant le théorème de changement de variable, nous trouvons que Im est égale à 1/(n+1). En appliquant cette formule à différents indices, nous obtenons les expressions des I2, I4, etc. Nous remarquons également que In tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini. En utilisant cette propriété, nous déterminons les limites des suites suivantes : la somme pour k allant de 1 à n de (-1)^(k-1)/k et la somme pour k allant de 1 à n de (-1)^(n-1)/(2k-1). Nous trouvons que la première suite tend vers ln(2) et la deuxième suite tend vers pi/2. En conclusion, nous avons utilisé l'intégration par parties pour calculer des sommes via des intégrales. Nous avons également déterminé des relations et des limites pour ces sommes. Merci de m'avoir suivi et à bientôt !

Ordre 1 coeffs constants

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