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Système à deux ressort

Dans ce cours, nous étudions un système composé de deux ressorts identiques placés côte à côte. Nous commençons par appliquer le principe fondamental de la dynamique pour trouver les forces exercées par les ressorts sur la masse. En dessinant les schémas représentant les ressorts comprimés ou étirés, nous pouvons déterminer les directions et les signes des forces. En appliquant le principe fondamental de la dynamique, nous obtenons une équation de mouvement où la masse est soumise à une force élastique de la forme KL - 2X, où K est la constante du ressort, L est la longueur du ressort à vide et X est la position de la masse par rapport à l'équilibre. Ensuite, nous étudions le cas des oscillations amorties en ajoutant une force de frottement à l'équation de mouvement. Cette force est de la forme -βX', où β est le coefficient de frottement et X' est la vitesse de la masse. Nous obtenons ainsi une équation d'oscillateur amorti X'' + βX' + 2K/MX = 0. Nous rappelons les différentes formes de cette équation et discutons des régimes d'oscillation en fonction de la valeur de β. Enfin, nous traitons du retour rapide à la position d'équilibre. Nous trouvons que le régime critique pour un retour rapide correspond à β = 2√(2K/M), où la masse oscille avec une décrépitude minimale. Nous calculons également la période et le temps caractéristique de retour à l'équilibre dans ce régime.
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Mesure du champ de pesanteur

Bonjour à tous, aujourd'hui nous allons aborder la mesure du champ de pesanteur à l'aide d'un pendule simple. Pour commencer, nous allons démontrer que la période du pendule est égale à 2 pi racine de L sur G, où L représente la longueur du pendule et G le champ de pesanteur. Pour cela, nous partirons de l'équation du pendule simple θ seconde plus G sur L sine θ est égale à 0. Dans la limite des petits angles, nous pouvons approximer sine θ par θ. Ainsi, nous obtenons une équation d'oscillateur harmonique avec oméga 0 carré égal à G sur L. En utilisant la formule de la période T0 égale à deux pi sur oméga 0, nous arrivons à T0 égale à deux pi racine de L sur G. Il est important de noter que la valeur de G peut varier d'un point à un autre sur Terre en raison de l'altitude et de la rotation de la Terre. Ainsi, en 1672, un astronome se rend à Cayenne avec une horloge à pendule réglée à Paris. Il constate que son horloge retarde de 2 minutes et 28 secondes par jour. Nous devons donc déterminer la valeur du champ de pesanteur à Cayenne. En utilisant les périodes des pendules à Paris (T0) et à Cayenne (T1), nous allons chercher à combiner ces informations pour faire apparaître un rapport intéressant. En calculant Tp sur Tc, nous obtenons racine de G1 sur G0. Donc G1 est égal à G0 fois T0 sur T1, le tout au carré. En connaissant T1 et l'écart de temps (delta T) entre les deux pendules, nous pouvons déterminer G1. Ainsi, G1 équivaut à G0 fois T0 sur T0 plus delta T au carré, soit une valeur de 9,78 mètres par seconde au carré. J'espère que cet exercice vous a été utile. À bientôt pour de nouveaux exercices sur la mesure du champ de pesanteur.
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Bille suspendue à un fil

Dans cet exercice, nous étudions un pendule simple constitué d'une bille suspendue à un fil inextensible de longueur L égale à 1 m. La bille est écartée de sa position initiale de 60° et est ensuite lâchée sans vitesse initiale. Nous devons déterminer la vitesse en fonction de θ (l'angle de déviation) et trouver l'angle pour lequel la vitesse est maximale. Pour résoudre ce problème, nous commençons par établir un bilan des forces. Nous identifions le poids P qui est égal à mg, ainsi que la tension du fil -TER. En ce qui concerne l'aspect cinématique, nous avons l'équation OM = LER, où L est une constante. Par projection de cette équation, nous obtenons les équations MLθ.² = T + mg cosθ et MLθ² = -mg sinθ, où T est la tension du fil. Afin d'éliminer le temps et obtenir une équation reliant la vitesse et θ, nous multiplions la deuxième équation par θ point (la dérivée de θ par rapport au temps). En intégrant cette équation par rapport à dθ entre les instants initial et T, nous obtenons L/2θ point²(T) = g cosθ - g cosθ0. Après avoir traduit cette équation en fonction de θ, nous obtenons l'expression de la vitesse en fonction de θ : v = racine de 2g cosθ - cosθ0. La vitesse est maximale lorsque cosθ = 1, ce qui correspond à θ = 0. En ce qui concerne l'accélération radiale, nous utilisons l'équation Lθ point² - v²/L. En utilisant l'expression précédente pour la vitesse, nous trouvons que l'accélération radiale est égale à -2g cosθ + 2g cosθ0. Pour l'expression de la tension du fil, nous utilisons l'équation MLθ.² = mg cosθ - T. En utilisant l'expression de la vitesse que nous avons obtenu précédemment, nous trouvons que la tension du fil est T = mg(3 cosθ - 2 cosθ0). Nous remarquons également que la tension est maximale lorsque cosθ = 1, donc lorsque θ = 0. En conclusion, cet exercice sur le pendule simple nous permet de comprendre comment une bille suspendue à un fil inextensible se comporte en termes de vitesse, accélération et tension du fil en fonction de l'angle de déviation θ. Ces concepts peuvent également être appliqués à d'autres types de problèmes, tels que les problèmes de décollement.
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Mouvement circulaire et ressort

Dans ce cours, nous abordons le mouvement circulaire avec un ressort. Une masse (m) est placée sur un plan horizontal et reliée à un point fixe (o) par un ressort de constante de raideur (k) et de longueur initiale (l0). Au départ, la masse est lancée avec une vitesse initiale (v0). Pour déterminer le rayon du cercle et la direction de v0, nous devons tenir compte du fait que le ressort ne doit ni être étiré ni comprimé. Donc, le rayon du cercle est égal à la longueur initiale du ressort (L0). Quant à la direction de v0, elle doit être tangente au cercle, c'est-à-dire selon la direction Eθ. Ensuite, nous montrons que si le mouvement est circulaire, alors il est également uniforme. En effectuant un bilan des forces, nous trouvons la force de rappel du ressort, le poids et la réaction du support. En utilisant les équations de la cinématique, nous trouvons l'expression de l'accélération. Nous pouvons réarranger cette expression pour obtenir une forme pratique : DV/DT Eθ - V^2/LER. Cette forme nous permet de voir que si le mouvement est uniforme, alors DV/DT est nul. Si nous projetons la force sur ER, nous obtenons une équation établissant que la vitesse est constante. Finalement, nous donnons une condition sur L pour que le mouvement soit circulaire. Nous constatons que cette condition est cohérente avec notre constatation précédente sur le mouvement uniforme. La vitesse initiale (v0) peut être calculée en utilisant l'expression v0 = K(L-L0)L/M. Ce cours combine les concepts des oscillateurs et des forces centrales, car il s'agit d'un oscillateur harmonique en rotation. Il n'y a pas de difficultés majeures, mais il est recommandé de retenir la forme pratique de l'expression lorsque nous traitons des forces centrales.
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Les lois de conservation

Dans cette vidéo, Théobald de Studio aborde le sujet des forces centrales et conservatrices. Il explique les lois de conservation qui s'appliquent dans un champ de force centrale conservatrice. Tout d'abord, il présente un point matériel M, de masse M, qui est soumis à une force centrale conservative. Cette force est représentée par la résultante F, qui agit sur le système et a pour centre O. Il souligne que ces conditions entraînent la conservation du moment cinétique et de l'énergie mécanique. En ce qui concerne la conservation du moment cinétique, Théobald rappelle que la force F est centrale, et donc sa droite d'action passe toujours par le centre O. En utilisant le théorème du moment cinétique, il démontre que la dérivée du moment cinétique par rapport au temps est nulle. Ainsi, le moment cinétique par rapport au centre O est conservé pendant le mouvement. Théobald passe ensuite à la conservation de l'énergie mécanique en soulignant que la force F est à la fois centrale et conservative. Il explique que les forces conservatrices dérivent d'un potentiel, l'énergie potentielle Ep. En appliquant le théorème de l'énergie cinétique, il montre que la dérivée de l'énergie mécanique par rapport au temps est nulle. Par conséquent, l'énergie mécanique est conservée pendant le mouvement et est une intégrale première du mouvement. En résumé, dans un champ de force centrale conservative, on observe la conservation du moment cinétique et de l'énergie mécanique. Il est important de retenir ces concepts, notamment l'utilisation du théorème d'énergie cinétique pour prouver la conservation de l'énergie mécanique. Théobald encourage les téléspectateurs à revoir les points clés de la vidéo. Il conclut en souhaitant bonne chance pour l'apprentissage de ces concepts et donne rendez-vous pour une prochaine vidéo.
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Energie potentielle effective

Dans cette vidéo, Théobald de Cidéo explique l'expression de l'énergie potentielle effective dans un champ newtonien. Il rappelle d'abord ce qu'est un champ newtonien, c'est-à-dire un champ de forces centrales et conservatives. Il souligne également que dans un champ newtonien, l'énergie mécanique et le moment cinétique du système sont conservés. Ensuite, il explique ce qu'est l'énergie potentielle effective, qui est la somme de la partie de l'énergie liée au mouvement orthoradial et de l'énergie potentielle. Il montre comment trouver l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ newtonien, en utilisant la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle. Il démontre ensuite que la trajectoire dans un champ newtonien est plane, en utilisant la conservation du moment cinétique. Il montre que les coordonnées polaires peuvent être utilisées pour représenter les différents points de la trajectoire. En utilisant les coordonnées polaires, il exprime l'énergie mécanique en fonction de R et de R'. Il explique que pour obtenir l'énergie potentielle effective, il faut la moitié de l'énergie cinétique liée au mouvement orthoradial, qui dépend uniquement de R. Il montre comment supprimer le terme dépendant de θ' en utilisant la constante des R, qui est une conséquence de la conservation du moment cinétique. Il obtient finalement l'expression de l'énergie potentielle effective pour un champ newtonien, qui vaut moins K/R. Ensuite, il étudie les différentes trajectoires en fonction de l'énergie mécanique du système. Si l'énergie mécanique est supérieure à zéro, le système est en état de diffusion, le point matériel peut atteindre toutes les positions et partir à l'infini. Si l'énergie mécanique est égale à une certaine valeur EM2, le système est en état lié, le point matériel ne peut pas atteindre toutes les positions possibles. Si l'énergie mécanique est égale à une valeur EM3, le mouvement est réalisé à une distance R0 fixée, et le mouvement est circulaire et uniforme. Enfin, si l'énergie mécanique est inférieure à EM3, le mouvement est impossible. En conclusion, Théobald rappelle l'importance de comprendre les différentes étapes et démonstrations présentées dans la vidéo, et invite les spectateurs à poser des questions s'ils en ont besoin.
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Les loi de Kepler

Dans ce cours, nous allons nous intéresser aux lois expérimentales de Kepler concernant le mouvement des planètes autour du Soleil. Kepler était un scientifique du XVIIe siècle qui étudiait les trajectoires des planètes. Il a observé ces trajectoires et a formulé trois lois principales sur les mouvements des planètes soumises à l'attraction gravitationnelle du Soleil. Ces lois sont également valables pour les satellites terrestres. La première loi, appelée loi des orbites, stipule que les planètes du système solaire suivent des trajectoires elliptiques dont le Soleil occupe l'un des foyers. La deuxième loi, la loi des aires, indique que les aires balayées par le segment Soleil-Planète pendant des intervalles de temps égaux sont égales. Cela signifie que quelle que soit la durée choisie (delta-T), l'aire balayée par le segment SP entre deux instants T1 et T2 sera la même. La troisième loi, la loi des périodes, énonce que le carré de la période de révolution d'une planète autour du Soleil est proportionnel au cube du demi-grand axe de sa trajectoire. En d'autres termes, T2/A3 est égal à une constante, où T représente la période et A le demi-grand axe de la trajectoire. Ces lois sont également applicables aux satellites terrestres, où la Terre joue le rôle du Soleil et le satellite celui de la planète. Il est essentiel de connaître ces lois par cœur pour mieux comprendre et résoudre les exercices sur ce sujet. N'hésitez pas à poser vos questions en commentaire, et je vous retrouve dans une prochaine vidéo.
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Le cas particulier du mouvement circulaire

Dans ce cours, nous étudions les mouvements circulaires dans un champ de force centrale conservatif. Le premier objectif est de montrer que tout mouvement circulaire est uniforme dans un tel champ. On supposera donc un point matériel de masse m dans un champ de force centrale conservatif de centre haut. Le moment cinétique par rapport à ce centre, noté L0, est conservé au cours du mouvement. En utilisant les coordonnées polaires pour repérer le point, on obtient OM = RUR et V = Rθ.Uθ. En calculant rapidement le moment cinétique, on obtient MR²θ.Uz, qui est une constante appelée la constante des R. Comme R et θ.Uz sont constants, la vitesse Rθ.Uz est uniforme. Ainsi, on montre que tout mouvement circulaire dans un champ de force centrale conservatif est également uniforme. La deuxième question consiste à calculer la vitesse et l'énergie mécanique dans le cas d'un mouvement circulaire. Comme le mouvement est circulaire, il est uniforme et la vitesse est donnée par Rθ.Uz. L'énergie mécanique du système est donnée par ½mv² plus l'énergie potentielle, qui vaut ½mv²R²θ² plus l'énergie potentielle. En utilisant la constante des R, qui vaut R²θ, on obtient les expressions de la vitesse et de l'énergie mécanique. Pour la troisième question, il s'agit d'établir la troisième loi de Kepler dans le cas d'un mouvement circulaire. On considère une planète en révolution autour du Soleil selon une trajectoire circulaire. En utilisant les coordonnées polaires, on obtient les expressions de OM, V et A. La force d'attraction gravitationnelle entre la planète et le Soleil vaut –gms/R² selon Ur, avec g la constante gravitationnelle et ms la masse du Soleil. En utilisant le principe fondamental de la dynamique, on obtient l'accélération A = –gms/R² selon Ur. En projetant cette équation sur Ur, on obtient V²/R = gms/R². La vitesse de la planète est donc donnée par la racine carrée de gms/R, qui est une constante. En utilisant l'expression de la vitesse, on peut trouver la période de rotation de la planète. La période T est donnée par 2πR/V, donc T² = 4π²R³/gms. On retrouve ainsi la loi des périodes, T²/R³ = 4π²/gms, qui est la troisième loi de Kepler.
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Satellite géostationnaire

Un satellite géostationnaire est un type de satellite qui reste toujours au-dessus du même point sur la Terre. Les caractéristiques de son mouvement sont définies par une accélération uniforme, qui est calculée en utilisant la formule a=v²/R, où R est le rayon de la Terre plus l'altitude du satellite. La force gravitationnelle entre le satellite et la Terre est également prise en compte en utilisant la formule F=mgmt/R². La période de rotation du satellite est la même que celle de la Terre, ce qui impose une vitesse spécifique de 2πR/t, où t est la période de rotation de la Terre. En utilisant ces informations, on peut déterminer l'altitude d'un satellite géostationnaire en utilisant la formule R=∛(GMTt²/4πR²), où G est la constante gravitationnelle, MT est la masse de la Terre, et RT est le rayon de la Terre. L'altitude du satellite est alors calculée en soustrayant RT du rayon géostationnaire.
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Satellite terrestres

Aujourd'hui, nous allons résoudre un exercice sur les satellites terrestres en utilisant comme exemple la Station Spatiale Internationale (ISS) qui décrit une orbite circulaire autour de la Terre à une altitude donnée. Pour déterminer la vitesse de l'ISS par rapport au référentiel géocentrique et sa période de révolution, nous appliquons le principe fondamental de la dynamique. Nous avons une orbite circulaire, donc un mouvement circulaire uniforme. L'accélération radiale est donnée par V²/R, où R est le rayon de la Terre plus l'altitude h de l'ISS. De plus, l'ISS est soumise à la force d'interaction gravitationnelle donnée par -GMTM/R². En égalant ces deux expressions, nous pouvons trouver la vitesse V de l'ISS, qui est la racine carrée de GMT/R. Pour effectuer le calcul numérique, nous utilisons une équation supplémentaire qui relie le poids à la surface de la Terre (mg) à la force d'interaction gravitationnelle (-GMTM/R²), ce qui nous permet de trouver la valeur de G à partir de g0. En utilisant toutes ces informations, nous obtenons une vitesse de 7,7 km/s, appelée la vitesse de satellisation. La période de révolution T de l'ISS est calculée à l'aide de la formule 2πR/V pour un mouvement circulaire uniforme, ce qui donne 5,4 x 10^3 secondes. Ensuite, nous examinons un second satellite ayant les mêmes caractéristiques, mais avec une altitude H' égale à 2H. Plutôt que de refaire tous les calculs, nous utilisons la troisième loi de Kepler qui indique que le ratio T²/R³ est constant dans un système donné. En égalant cette expression pour l'ISS et le second satellite, nous pouvons isoler et obtenir la valeur de T', qui est égale à T x (RT + 2H)/(RT + H)^(3/2). Cela donne une période légèrement supérieure de 5,8 x 10^3 secondes pour le second satellite. Il est logique que cette période soit plus grande car le satellite a une altitude plus élevée. J'espère que cela vous a été utile et nous nous retrouverons bientôt pour une autre vidéo sur l'effort central.
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Changement d'orbite

Dans cette vidéo, Théobald de Sudéo présente les lois expérimentales de Kepler. Johannes Kepler, un scientifique du XVIIe siècle, a étudié les trajectoires des planètes et a formulé ces lois. La première loi, appelée la loi des orbites, stipule que les planètes du système solaire suivent des trajectoires elliptiques, avec le Soleil occupant l'un des foyers de l'ellipse. La deuxième loi, la loi des aires, établit que les aires balayées par le segment reliant le Soleil à une planète sont égales pendant des intervalles de temps égaux. Enfin, la troisième loi, la loi des périodes, indique que le carré de la période de révolution d'une planète autour du Soleil est proportionnel au cube du demi-grand axe de sa trajectoire. Ces lois sont également applicables aux satellites terrestres, où la Terre remplace le Soleil et le satellite représente la planète. Il est recommandé de les apprendre par cœur pour faciliter la résolution des exercices liés à ce sujet.
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Expérience de Rutherford

Aujourd'hui nous abordons l'expérience de Rutherford qui consiste à bombarder des noyaux d'or avec un faisceau de particules alpha. La force répulsive qui intervient dans cette expérience est la force de répulsion coulombienne, car les particules alpha sont chargées positivement et repoussent les noyaux d'or qui sont également chargés positivement. L'expression de cette force est donnée par f = 2Ze² / (4πε0R²) selon ER. En utilisant la conservation du moment cinétique, nous pouvons montrer que la constante des aires R²θ est conservée. En observant le mouvement des particules à l'infini, nous pouvons déterminer que R²θ = VB0, où V est la vitesse de la particule à l'infini et B est le paramètre qui définit l'orbite. L'énergie mécanique de la particule est constante et peut être exprimée comme EM = ½MαR² + QQ / (4πε0R). L'énergie potentielle effective, qui permet de raconter le mouvement en une dimension, est donnée par EPF = QQ / (4πε0R). En utilisant ces expressions, nous pouvons déterminer l'ordre de grandeur de la vitesse initiale V0, qui est de l'ordre de 1,6 x 10⁷ m/s. Pour une collision frontale entre les particules et les noyaux d'or, l'énergie potentielle effective se simplifie et Rm, la distance minimale d'approche, peut être exprimée comme Rm = Ze² / (4πε0EM). En utilisant cette relation, nous pouvons obtenir une estimation de la taille du noyau. Cela permet de mesurer expérimentalement la taille des noyaux d'or.