Cours d'apprentissage en ligne

Décomposition en éléments simples

Le cours traite de la détermination de primitives de fractions polynomiales en utilisant deux méthodes différentes en fonction du discriminant du dénominateur. Si le discriminant est strictement négatif, la mise sous forme canonique est utilisée pour résoudre le problème, tandis que si le discriminant est supérieur ou égal à zéro, la méthode de décomposition en éléments simples est utilisée. Plus précisément, l'intégrale de référence de 1 sur x² plus a² est utile pour résoudre certaines primitives. Pour x² plus 4x plus 5, la forme canonique est utilisée pour obtenir la primitive. Pour 1 sur 1 moins x², la décomposition en éléments simples est utilisée pour obtenir la primitive. Enfin, le cours donne un exemple de ce qu'il faut faire si le dénominateur contient à la fois des termes linéaires et quadratiques. Les deux méthodes aboutissent à des primitives différentes, sous forme de RLN ou d'arc-tangente.

Primitives et récurrence

Dans cette vidéo, Matisse de Studio explique comment calculer une série d'intégrales pour tout nombre m. La première question consiste à exprimer l'intégrale suivante en fonction de la précédente : I m+1 =∫0¹( dx/(x²+1) )^m+1. Pour cela, on ne doit pas chercher à utiliser une intégration par parties, mais plutôt dériver l'intégrale pour trouver la réponse. En utilisant la méthode du plus 1 moins 1 pour comparer le numérateur et le dénominateur, on peut trouver la relation entre I m et I m+1 . Pour calculer I3, on peut utiliser la valeur calculée de I2 pour trouver la réponse, et ainsi de suite. Finalement, la vidéo donne la formule pour calculer I m+1 en fonction de I m , ce qui permet de calculer une infinité d'intégrales. La méthode d'intégration par parties et la technique du plus 1 moins 1 sont deux astuces importantes pour réussir ce type d'exercice.

Les complexes à l'aide !

Dans cette vidéo, Matisse de Studio traite d'une intégrale imaginaire en utilisant la propriété du cosinus qui n'est qu'une partie d'une exponentielle complexe. En se rappelant cette propriété et en utilisant des propriétés d'intégrales, il parvient à se ramener à un produit de seulement deux fonctions. Il utilise ensuite l'intégration par partie pour calculer cette intégrale et obtenir l'expression finale. Il conclut en recommandant la méthode d'exprimer le cosinus en fonction exponentielle, ce qui peut faciliter la résolution de problèmes complexes. Enfin, il donne l'expression finale de l'intégrale.

Intgérales de Wallis

Dans cette vidéo, on aborde le calcul des intégrales de Wallis. Pour commencer, on pose Wn, qui est l'intégrale de 0 à pi/2 de sin(nx) dx. On nous demande tout d'abord de calculer W0 et W1. En appliquant la formule, on trouve que W0 = pi/2 et W1 = 1. Ensuite, on nous demande de trouver une relation entre Wn et Wn+2. En utilisant l'intégration par parties, on dérive sin(n+1)x pour obtenir sin(nx). Après avoir simplifié, on obtient Wn+2 = (n+1)/(n+2) * Wn. Enfin, on nous demande de déduire W2n et W2n+1 en fonction de n. En remontant les rangs, on obtient que W2n = (2^n * (n!)^2 * pi) / (2n+1)!. De même, W2n+1 = (2^n * (n!)^2) / (2n+1)!. Cette méthode, bien que complexe, est importante à connaître pour les intégrales de Wallis.

Récurrence costaude

Bonjour à tous ! Dans cette vidéo, nous allons calculer des sommes à l'aide d'intégrales. Nous commençons par poser IN, qui est l'intégrale de 0 à pi/4 de la tangente du x à la puissance n, dx. Nous devons calculer I0 et I1, puis trouver une relation entre IN et IN+2. Enfin, nous déduirons une expression de IN en fonction de n. I0 est égal à l'intégrale de 0 à pi/4 de la tangente à la puissance 0, donc égal à 1. I1 est l'intégrale de 0 à pi/4 de la tangente, que nous pouvons exprimer comme le quotient sinus/cosinus. En effectuant le calcul, nous trouvons que I1 est égal à 1,5 ln(2). Pour trouver une relation entre Im et Im+2, nous utilisons une astuce consistant à écrire Im+2 comme la différence entre tangente de n+2 et tangente de n+2 de x. Nous faisons ensuite un changement de variable en posant phi égal à la tangente de x. Cela nous permet d'obtenir une expression simplifiée de Im. En utilisant le théorème de changement de variable, nous trouvons que Im est égale à 1/(n+1). En appliquant cette formule à différents indices, nous obtenons les expressions des I2, I4, etc. Nous remarquons également que In tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini. En utilisant cette propriété, nous déterminons les limites des suites suivantes : la somme pour k allant de 1 à n de (-1)^(k-1)/k et la somme pour k allant de 1 à n de (-1)^(n-1)/(2k-1). Nous trouvons que la première suite tend vers ln(2) et la deuxième suite tend vers pi/2. En conclusion, nous avons utilisé l'intégration par parties pour calculer des sommes via des intégrales. Nous avons également déterminé des relations et des limites pour ces sommes. Merci de m'avoir suivi et à bientôt !

Ordre 1 coeffs constants

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Variation de la constante

Dans cette vidéo, Maty de studio aborde la résolution des équations différentielles linéaires d'ordre 1 en utilisant une technique particulière : la méthode de variation de la constante. Il commence par résoudre une équation donnée : y'y = 1/(1+exp(x)). Il rappelle rapidement comment trouver la solution homogène de l'équation différentielle homogène associée, qui est yh = x*exp(-x). Ensuite, pour trouver une solution particulière, il utilise la méthode de variation de la constante. Il pose une fonction A(x) qui varie et multiplie cette fonction par exp(-x), comme c'était posé initialement. En dérivant cette fonction, il obtient A'(x) = exp(x)/(1+exp(x)). En intégrant cette équation, il trouve que A(x) = ln(1+exp(x)) + C, où C est une constante d'intégration. Comme il a précisé qu'il fallait multiplier par exp(-x) pour obtenir la solution particulière, la solution trouvée est : ysp = exp(-x) * ln(1+exp(x)). La solution générale de l'équation différentielle est donc : y(x) = yh + ysp = x*exp(-x) + exp(-x) * ln(1+exp(x)). Ensuite, il résout une autre équation donnée : 1+x*y' + y = 1 + ln(1+x)/(1+∞). Il commence par trouver la solution homogène de l'équation différentielle homogène associée, qui est yh = exp(ln(1+x)) = 1+x. Ensuite, pour trouver une solution particulière, il utilise encore la méthode de variation de la constante. Il pose une fonction A(x) qui varie et multiplie cette fonction par (1+x), comme c'était posé initialement. En dérivant cette fonction, il obtient A'(x) = ln(1+x). En intégrant cette équation, il trouve que A(x) = (1+x) * ln(1+x) - x. Comme il a précisé qu'il fallait diviser par (1+x) pour obtenir la solution particulière, la solution trouvée est : ysp = ln(1+x). La solution générale de l'équation différentielle est donc : y(x) = yh + ysp = 1+x + ln(1+x). Il résout ensuite deux autres équations, en utilisant la même méthode de variation de la constante. Les solutions trouvées sont respectivement : y(x) = x^2/(1+x) et y(x) = exp(x^2 + x)/(1+x). Enfin, il conclut en expliquant que la méthode de variation de la constante est une méthode importante pour résoudre les équations différentielles d'ordre 1, car elle permet de trouver une solution particulière à tous les coups. Il souligne l'importance de multiplier la solution particulière par le facteur exponentiel correspondant. Il encourage ensuite les spectateurs à résoudre n'importe quelle équation différentielle d'ordre 1 en utilisant cette méthode.

Avec condition initiale

Dans cette vidéo, Mathis de Studio résout deux problèmes de Cauchy, qui sont des équations différentielles linéaires d'ordre 1 avec des conditions initiales. Pour résoudre chacune de ces équations, il utilise la méthode de la solution homogène et de la solution particulière en appliquant la variation de la constante. Pour la première équation, il trouve que l'ensemble des solutions ne contient qu'un seul élément. Pour la deuxième équation, il trouve également qu'il n'y a qu'une seule solution qui vérifie la condition initiale. La méthode pour la solution particulière et l'importance de sommer les solutions homogènes et particulières avant d'appliquer la condition proposée sont soulignées.

Gérer une valeur absolue

Dans cette vidéo, Matisse de Studio résout une équation différentielle sur deux intervalles différents : moins l'infini 0 et 0 plus infini. L'équation est la suivante : "valeur absolue de x y prime plus x moins 1 y est égale à x cube". Il commence par résoudre sur moins l'infini 0 en normalisant l'expression, en trouvant la solution homogène et en utilisant la méthode de variation de la constante pour trouver la solution particulière. Ensuite, il résout sur 0 plus infini en obtenant une solution homogène différente et en utilisant la méthode de variation de la constante pour trouver une solution particulière différente. La conclusion est que l'intervalle de résolution a un impact majeur sur la forme de l'ensemble de solutions. Il faut donc faire attention à cela lors de la résolution d'équations différentielles.

Changement de variable

Dans cette vidéo, Mathis explique comment résoudre une équation différentielle non linéaire d'ordre 1 en utilisant un changement d'inconnue. L'équation E1 est -x²z' + xz = z², et on cherche des solutions sur l'intervalle 1 à l'infini qui ne s'annulent pas sur cet intervalle. Pour linéariser cette équation, Mathis pose y = 1/z et vérifie que y est solution d'une équation différentielle linéaire d'ordre 1, E2. En résolvant E2 sur y, Mathis trouve que les solutions sont de la forme x(e^(ln(x)/a + ln(x))) avec a appartenant à R. En prenant l'inverse de cette forme de solution, il trouve les solutions de E1 sur 1 à l'infini qui ne s'annulent pas, qui sont de la forme x(x/e^(ln(x)/a + ln(x))) avec a appartenant à R+. Grâce à ce changement d'inconnue, Mathis résout une équation qui était hors de notre champ de résolution.

Classique : Raccordement

Dans cette vidéo, Mathis de Studio traite du problème classique de raccordement en équation différentielle. Pour résoudre ce problème, il commence par donner une condition nécessaire et suffisante pour que la fonction se prolonge par continuité en 0 en évaluant les limites à gauche et à droite. Ensuite, il démontre que si cette condition est remplie, ce prolongement est dérivable en 0 et que la dérivée est continue en 0. Puis, il résout l'équation différentielle x²y' - y = 0 sur les intervalles -∞ 0 et 0 +∞. Il montre que l'ensemble des solutions est l'ensemble des fonctions qui ont x associé à exponentielle de moins 1 sur x, où a est un paramètre réel. Enfin, il explique l'enjeu du raccordement et souligne l'importance de vérifier des conditions de stabilité via la continuité et la dérivabilité pour assembler des solutions sur l'ensemble des intervalles.