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Équations Inéquations

Dans ce cours, nous abordons une nouvelle inéquation avec le logarithme, similaire à celle que nous avons vue précédemment. L'équation proposée pour la résolution est 3-ln(2x+1)/2 > 1. Pour résoudre cette équation, nous voulons isoler le terme en ln afin de pouvoir composer par l'exponentielle et l'isoler. Comme d'habitude, il est important de vérifier l'ensemble de définition de l'inéquation avant de continuer. Dans ce cas, nous devons nous assurer que 2x+1 est strictement supérieur à 0. Cela signifie que nous devons résoudre l'inéquation sur l'intervalle -1/2 à l'infini. Pour isoler le terme en ln, nous déplaçons le facteur 3 de l'autre côté de l'inéquation, ce qui le transforme en -2. Ensuite, nous multiplions par -1 pour inverser le sens de l'inégalité. Maintenant, nous avons isolé parfaitement le ln. À ce stade, nous composons par l'exponentielle pour obtenir 2x+1 < e^4. Cette résolution est assez simple, nous isolons x pour obtenir x = e^4 - 1/2. Il est important de rappeler que l'intervalle sur lequel nous résolvons l'inéquation est -1/2 à l'infini. Nous devons vérifier si e^4 - 1/2 est compris dans cet intervalle. Comme cela est le cas, l'intervalle solution est l'intersection de ces deux intervalles, ce qui donne -1/2 à e^4 - 1/2. Il est crucial de ne pas oublier de vérifier l'ensemble de définition au début et de prendre l'intersection de la solution finale avec l'intervalle initial de résolution. Cette méthode nous permet d'isoler le terme en logarithme, de prendre l'exponentielle par la suite et de prendre en compte les intervalles de définition.
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Exposant=Inconnue ?

Dans ce cours, on utilise l'exponentiel et le logarithme pour résoudre des inéquations où l'inconnu est un exposant. Cela est souvent utilisé en physique, notamment pour calculer la durée nécessaire pour que 80% des atomes radioactifs aient disparu. On utilise les lois géométriques, mais pour résoudre rigoureusement ces problèmes, on passe par la définition de l'exponentiel pour les puissances. Pour une puissance B non entière, on utilise la formule A^B = E^(B*ln(A)). Ainsi, lorsque l'inconnu est à l'exposant d'une puissance, on revient à la définition exponentielle. Dans l'exemple donné, 1/5^n est égal à E^(n*ln(1/5)) = E^(-n*ln(5)), ce qui est inférieur à 0,01. En isolant l'exponentielle, on obtient -n*ln(5) < ln(0,01). En multipliant par -1 et en divisant par ln(5), on obtient n > ln(0,01)/ln(5). En vérifiant la cohérence de nos calculs, on constate que pour des valeurs de n suffisamment grandes, la suite géométrique tend vers 0, ce qui confirme notre résultat. Dans un autre exemple, avec 1,22^n > 10^5, on utilise également la notation exponentielle pour obtenir E^(n*ln(1,22)) > E^(5*ln(10)). On en déduit n > 5*ln(10)/ln(1,22). En vérifiant la cohérence, on confirme que notre résultat est correct. En conclusion, il est important de revenir à la définition de la puissance avec l'exponentiel et le logarithme pour résoudre ces types de problèmes. N'hésitez pas à consulter la FAQ en cas de questions.
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Courbe et Tangentes

Dans ce cours, nous étudions la fonction logarithme et cherchons à trouver l'équation de la tangente au point d'abscisse 1. Pour cela, nous utilisons la dérivée de la fonction logarithme, qui est égale à 1/x. En évaluant cette dérivée au point d'abscisse 1, nous obtenons une tangente d'équation y = x - 1. Ensuite, nous nous intéressons à la position relative de la courbe par rapport à sa tangente. Nous pouvons étudier cette position en examinant la convexité de la fonction. En calculant la dérivée seconde de la fonction logarithme, qui est égale à 1/x², nous constatons que la fonction est concave. La courbe se trouve donc en dessous de toutes ses tangentes, y compris celle au point d'abscisse 1. Nous pouvons également utiliser une méthode alternative en effectuant une étude de fonction classique. Pour cela, nous créons une fonction auxiliaire, g(x) = ln(x) - x + 1, et étudions le signe de cette fonction en examinant ses variations. En dérivant g(x), nous trouvons que cette dérivée est positive pour x compris entre 0 et 1, et négative pour x supérieur à 1. Ainsi, nous obtenons le tableau de variation de g(x), qui montre que g(x) est inférieur à 0 pour tout x, ce qui signifie que la différence entre la courbe et la tangente est toujours négative ou nulle. En conclusion, nous avons déterminé que la tangente au point d'abscisse 1 de la fonction logarithme a pour équation y = x - 1, et que la courbe de la fonction logarithme est en dessous de cette tangente. Cette méthode permet de reconnaître facilement cette tangente et de l'utiliser dans des calculs ultérieurs. Il est également recommandé de penser à la concavité pour déterminer la position relative de la courbe par rapport à sa tangente.
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Dérivabilité et Variations

Cet article traite de l'étude d'une fonction logarithmique, qui est facile à étudier mais utilise une méthode classique. La fonction proposée est ln2x+1/ln2x-1, définie sur 0 exclu jusqu'à l'infini. La méthode utilisée pour étudier cette fonction est de la dériver, en utilisant la formule g' = u'v - uv' / v², ce qui permet d'obtenir une fonction dérivée de la forme -2x / (ln2x - 1)², qui est strictement négative sur 0e, mais aussi sur e jusqu'à l'infini, sauf en e où elle est indéfinie. Le tableau des variations de la fonction est ensuite déterminé en calculant les limites de la fonction en 0, e-, e+ et à plus l'infini, pour avoir un tableau des variations complet. Il est également noté que la présence de la valeur interdite du logarithme engendre une asymptote verticale en x = e et une asymptote horizontale en y = 1. Enfin, il est souligné que la fonction n'est pas strictement décroissante sur tout l'intervalle.
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Croissance Comparée

Dans ce cours, nous analysons la fonction f qui définit la position suivante 3-x + 2ln2x. Nous dérivons la fonction pour trouver son signe et en déduire que la fonction est décroissante sur R étoile plus. En utilisant des croissances comparables, nous trouvons les limites de la fonction à l'infini et à 0. Nous utilisons ces limites pour établir le tableau de variation de f et trouver son extrémum. Ensuite, nous étudions la convexité de f en trouvant la dérivée seconde et en déduisant qu'elle est concave sur R étoile plus tout entier.
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Ln : Limites

Nous allons voir comment calculer des limites qui font intervenir la fonction ln. Pour cela, nous allons utiliser le principe de factorisation du terme prédominant et nous allons essayer de nous ramener à des limites usuelles en utilisant les propriétés sur le logarithme.Pour la première limite, nous avons 2 ln(x²) - 5 ln(x) + 1. En factorisant par le terme prédominant ln(x²), nous obtenons 2 - 5/ln(x) + 1/ln²(x), qui tendent toutes vers 0, donc la limite est plus l'infini.Pour la deuxième limite, qui est du ln(√x)/ln(2x), qui tend vers l'infini, nous utilisons les propriétés sur le logarithme pour transformer √x en x^(1.5) et obtenir 1.5 ln(x)/ln(2) + ln(x)/ln(2). En factorisant par le terme prédominant ln(x), nous obtenons 1.5 + ln(2)/ln(x), qui tend vers 1.5.Enfin, pour la dernière limite, qui est (x-1)² ln(x-1) quand x tend vers 1, nous posons grand x = x-1 pour obtenir x² ln(x). En séparant le x, nous obtenons x * x ln(x), qui tend vers 0, donc la limite recherchée est égale à 0.Si vous avez des questions, n'hésitez pas à consulter la FAQ.
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Dériver ln(u)

Ce cours aborde la méthode pour déterminer l'ensemble de définition d'une fonction avec logarithme et calculer sa dérivée. Il est important de bien regarder l'ensemble de définition d'une expression, notamment pour une inégalité. La première fonction est f(x) = ln(8x-4), pour laquelle l'ensemble de définition est 1/2 à l'infini et la dérivée est 2/(2x-1). La deuxième fonction est f(x) = ln(x^2 + x + 1), qui est définie et dérivable sur R tout entier et la dérivée est 2x/(x^2 + x + 1). La troisième fonction est f(x) = ln(u/v), avec u(x) = x-1 et v(x) = 2x+4. L'ensemble de définition est (-∞, -2) U (1, +∞) et la dérivée est (6/(v(u-v))(u/v)). Finalement, la quatrième fonction est f(x) = ln(e^x / e^0.1x), qui est définie et dérivable sur R+ étoile et la dérivée est e^x / e^0.1x. Il est important de mémoriser de toujours vérifier l'ensemble de définition pour une expression impliquant une fonction logarithmique.
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Équation Tangente

Cette vidéo explique comment déterminer l'équation de la tangente à une courbe dans le cadre de l'étude d'une fonction. La méthode est classique et doit être maîtrisée, car elle est souvent utilisée dans les exercices portant sur les tangentes et la position relative de la courbe par rapport à la tangente.La vidéo présente deux exemples. Dans le premier, la fonction étudiée est f(x) = x² + 3x + 1. On calcule f'(2) et f(2) pour obtenir l'équation de la tangente au point d'abscisse 2. En utilisant la formule y = f'(a) * (x - a) + f(a), on trouve que l'équation de la tangente est y = 7x + 3.La vidéo explique également la provenance de la formule de la tangente, qui se fonde sur la détermination du coefficient de directeur (la dérivée de la fonction au point de contact) et de l'ordonnée à l'origine (la valeur de la fonction au point de contact).Dans le deuxième exemple, la fonction étudiée est g(x) = e^x. On calcule g'(0) et g(0) pour obtenir l'équation de la tangente à la courbe de la fonction au point d'abscisse 0. L'équation de la tangente est y = x + 1, qui est la tangente la plus connue de l'exponentielle.Il est important de bien maîtriser cette méthode, car elle est incontournable dans les études de fonction.
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Formules Classiques

In this video, the speaker reminds viewers about the importance of knowing the formulas for differentiation. Errors in differentiation formulas can have a significant impact on exams and assignments, so it is critical to be confident when using them. The video goes over several examples to demonstrate the application of differentiation formulas, including functions with x raised to a power, square roots, and ratios. The speaker also advises viewers to use systematic methods, such as color-coding or grouping terms, to avoid errors when simplifying expressions. Overall, the key takeaway from this video is the importance of mastering differentiation formulas and using efficient problem-solving strategies.
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Polynômes 2nd Degré

Ce cours donne une méthode pour étudier plus rapidement un polynôme de second degré en utilisant une astuce pour aller directement à l'extrême minimum ou maximum. Cette astuce consiste à utiliser la formule "-b/2a" pour trouver l'extrême, puis vérifier le signe de "a" pour déduire si c'est un minimum ou maximum. Ensuite en utilisant les formules de racines et d'ordonnées, on peut facilement trouver les coordonnées des racines et du minimum. Cela permet d'éviter de faire une étude classique de fonction. Cette méthode est particulièrement utile si vous souhaitez aller plus vite lorsque vous tombez sur un polynôme de degré 2.
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Fonction Composée

Dans ce cours, on apprend à étudier une fonction composée, en utilisant l'exemple de la fonction e^(2x-1)/x^2. On explique que la fonction est de la forme h-g^2x, où g est -1/x^2 et h est e^(2x-1), et qu'il est important de bien comprendre ces deux fonctions pour étudier leur composition. On utilise ensuite les formules de dérivation pour trouver le sens de variation de g et son tableau de variation, ainsi que les limites de la fonction aux bornes. Ensuite, on calcule le sens de variation de f (g-h), en appliquant les règles de variation (croissant composé avec croissant fait croissant, décroissant composé avec décroissant fait croissant, etc.) On trouve finalement que la fonction est décroissante sur R* et croissante sur R*+, avec des limites en moins l'infini et plus l'infini de 1, et une limite en 0 de 0 (qui peut être prolongée par continuité). On explique que cela peut être fait en calculant la dérivée de la fonction, ou en étudiant directement la fonction composée.
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Hérédité mais...

Dans cet exercice de mathématiques, nous devons démontrer qu'une proposition est vraie pour tous les entiers anti-naturels n. Pour cela, nous utilisons le principe de récurrence. Dans la question 1, nous devons démontrer que si la proposition est vraie pour n, alors elle est vraie pour n+1. Nous commençons par écrire cette proposition et nous utilisons l'hypothèse de récurrence pour simplifier l'expression. Ensuite, nous complétons l'égalité en