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Au moins un six

Dans cet exercice de probabilité, on lance un dé n fois. Le but est de calculer la probabilité d'obtenir des résultats différents à chaque fois, ainsi que la probabilité d'obtenir au moins une fois le chiffre 6, au moins deux fois le chiffre 6, et au moins k fois le chiffre 6. La probabilité d'obtenir des résultats différents à chaque fois est calculée en utilisant la formule 1 - (5/6)^n. La probabilité d'obtenir une fois le chiffre 6 est calculée en utilisant la formule (1/n) * (1/6) * (5/6)^(n-1). La probabilité d'obtenir au moins deux fois le chiffre 6 est calculée en utilisant la formule 1 - (1 - (1/n) * (1/6) * (5/6)^(n-1)). La probabilité d'obtenir au moins k fois le chiffre 6 est calculée en utilisant la formule 1 - (1 - (j/n) * (1/6)^j * (5/6)^(n-j)), pour j allant de 1 à k-1.
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Indice de coïncidence d’un texte

Dans cet exercice, nous nous intéressons à l'indice de coïncidence dans un texte. Cet indice mesure la probabilité que deux lettres choisies au hasard dans le texte soient les mêmes. Pour calculer cet indice, nous utilisons la formule suivante : Na*(Na-1) / N*(N-1), où Na représente le nombre de fois où la lettre A apparaît dans le texte, et N représente le nombre total de lettres dans le texte. Cette formule est appliquée à chaque lettre de l'alphabet, afin de calculer l'indice de coïncidence global. Cet exercice nous permet de comprendre comment calculer cet indice et son utilisation dans l'analyse de textes.
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Racines de polynômes

Cet exercice porte sur le lancer de trois dés à six faces. Les résultats obtenus sont notés ABC, et nous créons ensuite un polynôme Q avec ces coefficients ABC. Nous cherchons la probabilité que Q ait deux racines réelles distinctes. Pour cela, nous devons déterminer le cardinal d'Oméga, qui représente toutes les issues possibles, soit 216 possibilités. Nous voulons que B²-4ac soit strictement positif pour avoir deux racines réelles distinctes. A est l'événement défini comme étant l'ensemble des triplés ABC tels que B²-4ac soit strictement positif. Nous allons donc calculer le cardinal de A en listant toutes les valeurs possibles pour 4ac et en comptant combien de ces valeurs permettent d'obtenir un B²-4ac strictement positif pour chaque valeur de B. En total, il y a 38 possibilités pour que B²-4ac soit strictement positif, et donc le cardinal de A est égal à 38. La probabilité de A est donc de 38 sur 216, soit 19 sur 108. Nous répétons le même raisonnement pour calculer les probabilités de B (racine réelle double) et de C (pas de racine réelle). En utilisant la relation P de C = 1 - P de A - P de B, nous trouvons que la probabilité de C est de 173 sur 216.
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Matrice diagonale

Bienvenue dans cet exercice qui mélange probabilités et matrices. On nous décrit E comme l'ensemble des matrices 2x2, avec des coefficients réels valant 0 ou 1. L'expérience aléatoire que nous faisons est de tirer au hasard une matrice de cet ensemble et d'étudier 4 événements : A (matrice diagonale), B (matrice triangulaire supérieure non diagonale), C (matrice triangulaire inférieure non diagonale) et D (matrice non triangulaire). Pour déterminer la probabilité de chacun de ces événements, on utilise la méthode classique : on compte le nombre de matrices correspondant à chaque événement et on divise par le nombre total de matrices. Pour A, il faut que les coefficients ε2 et ε3 soient égaux à 0, et les coefficients ε1 et ε4 peuvent prendre n'importe quelle valeur. Cela nous donne 4 possibilités. Donc la probabilité de A est de 1/4. Pour B, il faut que le coefficient ε2 soit égal à 1 et le coefficient ε3 soit égal à 0. Les coefficients ε1 et ε4 peuvent prendre n'importe quelle valeur. Cela nous donne également 4 possibilités. Donc la probabilité de B est de 1/4. Pour C, on fait le même raisonnement que pour B, mais en inversant les coefficients ε2 et ε3. Donc la probabilité de C est également de 1/4. Pour D, on aurait pu regarder toutes les possibilités restantes, mais il suffit de voir que les matrices non triangulaires ont aussi 4 possibilités. Donc la probabilité de D est de 1/4. Ensuite, on nous demande de déterminer la probabilité que les matrices soient diagonalisables. Les matrices de A sont diagonales, donc elles sont toutes diagonalisables. Pour les matrices de B et C, elles sont triangulaires et donc pour qu'elles soient diagonalisables, il faut que les valeurs propres ne soient pas des racines multiples. Pour cela, il faut que les valeurs sur la diagonale soient différentes (0 ou 1). Il y a donc 2 possibilités pour chaque coefficient. Pour les matrices de D, toutes sont diagonalisables. En résumé, on a 12 matrices diagonalisables sur les 16 matrices possibles. Donc la probabilité qu'une matrice soit diagonalisable est de 3/4.
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Le problème des anniversaires

Dans cet exercice, nous explorons le paradoxe des anniversaires, qui met en évidence que la probabilité que deux personnes aient la même date d'anniversaire est plus élevée que ce que l'on pourrait penser. Dans une classe de 30 élèves, le professeur de maths propose un pari : il parie que deux personnes dans cette classe ont la même date d'anniversaire. La question est de savoir si nous acceptons le pari ou non. Pour faciliter les calculs, nous excluons le 29 février. Ainsi, chaque personne a 365 jours possibles pour son anniversaire, car aucune date n'a encore été sélectionnée. La première personne a donc 365 choix, la deuxième en a 364, et ainsi de suite jusqu'à la trentième, qui a 336 choix restants. Nous calculons ensuite la probabilité que deux personnes n'aient pas la même date d'anniversaire. Pour chaque personne, cette probabilité est donnée par le rapport entre le nombre de choix possibles et le nombre total de jours dans l'année (365). Maintenant, pour trouver la probabilité que deux personnes aient la même date d'anniversaire, nous calculons le complément de la probabilité précédente (c'est-à-dire 1 moins la probabilité que deux personnes n'aient pas la même date d'anniversaire). Ce calcul nous donne environ 0,706, ce qui signifie qu'il y a environ 70% de chances qu'au moins deux personnes dans la classe aient la même date d'anniversaire. En conclusion, il est préférable de refuser le pari du professeur, car il a plus de chances de gagner.
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La coupe

Dans cet exercice, nous devons organiser une coupe de basket entre N équipes de première division et N équipes de deuxième division. Chaque équipe doit jouer un match et un seul. Pour calculer la probabilité que tous les matchs opposent une équipe de première division à une équipe de deuxième division, nous devons d'abord calculer le nombre total de tirages au sort possible. Il s'agit d'une liste de taille N de combinaisons 2 à 2 disjointes. En simplifiant les calculs, nous obtenons le nombre total de tirages au sort : 2N! / (2^N). Ensuite, nous calculons le nombre de matchs où les équipes sont de divisions distinctes. Pour chaque match, il y a N choix d'équipe de première division et N choix d'équipe de deuxième division. En simplifiant les calculs, nous obtenons le nombre de possibilités de matchs : N!^2. La probabilité que chaque match oppose une équipe de chaque division est donc le nombre de matchs avec des équipes distinctes divisé par le nombre total de tirages au sort. Après quelques simplifications, nous obtenons N!^2 / (2N! / (2^N)). Ensuite, nous devons calculer la probabilité que tous les matchs opposent deux équipes de la même division. Si N est impair, cela n'est pas possible car il manquerait une équipe à rencontrer. En supposant que N est pair, nous calculons le nombre total de matchs où les équipes sont de la même division. Nous obtenons une formule complexe, que nous simplifions pour trouver QN. Enfin, nous devons montrer que pour toute valeur de N supérieure à 1, nous avons l'inégalité N! / (2N!) < 1/2. Pour cela, nous utilisons des transformations algébriques pour simplifier l'expression N parmi 2N et montrer que cela est inférieur à 1/2. Nous concluons que les limites de Pn et Qn tendent vers 0 à mesure que N tend vers l'infini, selon le théorème des gendarmes.
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Indépendance et contexte

Dans cet exercice sur les probabilités, nous avons une urne avec 12 boules numérotées de 1 à 12. Nous tirons une boule au hasard et nous observons deux événements, A (tirage avec un nombre pair) et B (tirage avec un multiple de 3). La question est de savoir si A et B sont indépendants. Pour déterminer cela, nous utilisons l'équiprobabilité, ce qui signifie que chaque boule a la même chance d'être tirée. Pour calculer les probabilités, nous divisons simplement le nombre de résultats favorables par le nombre total de résultats possibles. La probabilité de A (nombre pair) est de 6 sur 12, soit 1,5. La probabilité de B (multiple de 3) est de 4 sur 12, soit un tiers. Ensuite, nous calculons la probabilité de l'intersection entre A et B. Il y a seulement 2 boules (6 et 12) qui répondent à ces critères, donc la probabilité de A inter B est de 2 sur 12, soit 1 sur 6. Cette probabilité est également égale au produit des probabilités individuelles de A et B (1,5 fois un tiers), ce qui donne également 1 sur 6. Donc, par définition, A et B sont indépendants dans ce cas. Si nous reprenons la question avec une urne contenant 13 boules, les calculs changent légèrement. Les possibilités pour A et B restent les mêmes, mais les probabilités sont ajustées en fonction du nombre total de boules (13 au lieu de 12). Ainsi, la probabilité de A est de 6 sur 13 et la probabilité de B est de 4 sur 13. Pour l'intersection, les résultats restent les mêmes (6 et 12), mais la probabilité est de 2 sur 13. Cependant, cette probabilité est différente du produit des probabilités individuelles de A et B (24 sur 169). Donc, dans le cas où nous avons 13 boules, les événements A et B ne sont plus considérés comme indépendants.
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Indépendance deux à deux et indépendance mutuelle

Dans cet exercice de probabilité, nous considérons le contexte où notre voisine a deux enfants dont nous ignorons le sexe. Les trois événements à prendre en compte sont : A. Les deux enfants sont de sexe différent. B. L'aîné est une fille. C. Le cadet est un garçon. Nous voulons montrer que les événements A, B et C sont deux à deux indépendants, mais ne sont pas mutuellement indépendants. La probabilité de n'importe quel enfant de naître fille ou garçon est supposée être de 1,5 (50% pour les deux possibilités). Pour visualiser cela, nous utilisons un arbre avec les branches correspondant aux différentes possibilités de sexe pour chaque enfant. La probabilité de l'événement A (deux sexes différents) est de 2 chances sur 4, car il y a deux branches qui nous intéressent sur les quatre possibles. La probabilité de l'événement B (l'aîné est une fille) est également de 1,5, car il y a deux possibilités pour le sexe de l'aîné (garçon ou fille) avec une probabilité de 50% pour chacune. La probabilité de l'événement C (le cadet est un garçon) suit le même raisonnement, avec une probabilité de 1,5. Ensuite, pour montrer que ces événements sont deux à deux indépendants, nous calculons les probabilités des intersections de chaque paire d'événements et les comparons aux produits des probabilités correspondantes. Nous constatons que la probabilité de l'intersection de A et B (deux sexes différents et l'aîné est une fille) est de 1 sur 4, ce qui est égal au produit des probabilités de A et B. De même, l'intersection de A et C (deux sexes différents et le cadet est un garçon) a une probabilité de 1 sur 4, qui est également égale au produit des probabilités de A et C. L'intersection de B et C (l'aîné est une fille et le cadet est un garçon) suit la même logique, avec une probabilité de 1 quart, qui est égale au produit des probabilités de B et C. Cela démontre que les événements A, B et C sont deux à deux indépendants. Cependant, lorsque nous examinons la probabilité de l'intersection des trois événements (A, B et C), nous constatons qu'elle n'est pas égale au produit des probabilités individuelles. La probabilité de l'intersection des trois événements est de 1 quart (soit la probabilité d'avoir une fille puis un garçon), tandis que le produit des trois probabilités individuelles est de 1,8. Cela prouve que les événements A, B et C ne sont pas mutuellement indépendants. C'est ainsi que se termine cet exercice de probabilité.
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Probabilité d’une réunion et indépendance

Dans cet exercice de probabilité, nous avons n événements, notés a1, a2, ..., an, qui sont mutuellement indépendants et ont des probabilités respectives pi. Nous souhaitons exprimer de manière simple la probabilité d'avoir au moins un de ces événements, c'est-à-dire p(a1, ou a2, ou ..., ou an), en fonction des pi. Nous savons que si les événements sont mutuellement indépendants, alors leurs complémentaires le sont également. Ainsi, la probabilité de l'union de ces événements peut être calculée en utilisant la formule suivante : 1 - la probabilité de l'intersection des complémentaires. La probabilité de l'intersection des complémentaires correspond au produit des probabilités des complémentaires de chaque événement. En utilisant la notation ai bar pour le complémentaire de ai, cela équivaut à 1 moins pi. Donc, la probabilité d'avoir au moins un de ces événements est égale à 1 moins le produit de (1 - pi), de i allant de 1 à n. Cette formule peut être appliquée dans le cas où une personne est soumise à n expériences indépendantes et a une probabilité p d'avoir un accident à chaque expérience. La probabilité qu'elle ait au moins un accident est alors égale à 1 moins la probabilité de ne pas avoir d'accident, soit 1 - (1 - p) à la puissance n. C'est ainsi que l'on peut calculer la probabilité d'avoir au moins un de ces événements dans le contexte de cet exercice.
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indépendance impossible

Dans cet exercice, on cherche à prouver que deux événements A et B ne peuvent pas être indépendants. On suppose qu'on a un espace probabilisé avec un univers Ω et un modèle d'équiprobabilité où chaque événement a la même probabilité. On note N le cardinal de A et M le cardinal de B. La probabilité de A est N/P et la probabilité de B est M/P. On suppose qu'ils sont indépendants, ce qui signifie que la probabilité de leur intersection est égale au produit des probabilités. En remplaçant dans cette équation, on obtient que le cardinal de l'intersection A ∩ B est égal à MN/P. Comme le cardinal est un nombre entier, cela signifie que MN/P est un nombre entier. Puisque P est un nombre premier, on applique le théorème de Gauss, qui dit que si un nombre premier divise le produit de deux entiers, alors il divise au moins l'un des deux entiers. Supposons que P divise N. Comme N est inférieur ou égal à P, soit N est 0, ce qui signifie que A est l'ensemble vide, soit N est P, ce qui signifie que A est égal à Ω, l'univers. Donc, si A et B sont indépendants, les seules possibilités sont que A soit l'ensemble vide ou Ω. En conclusion, si A et B ne sont ni l'ensemble vide ni Ω, ils ne peuvent pas être indépendants.
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Relectures indépendantes

Dans cet exercice de probabilités, nous nous intéressons à la correction d'un livre contenant quatre erreurs. Chaque erreur est corrigée lors d'une série de relectures, et chaque correction a une probabilité de réussite de 1/3. Les relectures et les corrections sont toutes indépendantes les unes des autres. La première question est de déterminer la probabilité que l'erreur numéro 1 ne soit pas corrigée après la énième relecture. Nous pouvons noter AI l'événement selon lequel l'erreur 1 est corrigée lors de la ième lecture. Nous avons déjà calculé que P(A1) = 1/3 (probabilité que l'erreur 1 soit corrigée à la première lecture) et P(A1') = 2/3 (probabilité que l'erreur 1 ne soit pas corrigée à la première lecture). Comme les AI sont indépendants les uns des autres, les AI' le sont aussi. Ainsi, la probabilité que l'erreur 1 ne soit pas corrigée après la énième relecture est donnée par (2/3)^n. La deuxième question concerne la probabilité que le livre soit entièrement corrigé après la énième relecture. Pour cela, nous devons trouver la probabilité des intersections des complémentaires des erreurs (BJ'). Comme les BJ sont indépendants, les BJ' le sont également. La probabilité de l'intersection des BJ' est donc donnée par (1 - 2/3)^4 = (1/3)^4. Enfin, la dernière question consiste à déterminer combien de relectures sont nécessaires pour que la probabilité que le livre soit entièrement corrigé soit supérieure à 0,9. Pour cela, nous devons résoudre l'inéquation (1/3)^n > 0,9. En utilisant des calculs logarithmiques, nous trouvons que n doit être supérieur à log(1 - 0,9)^1/4 / log(2/3), ce qui est approximativement égal à 10. Donc, pour n supérieur ou égal à 10, nous avons une probabilité supérieure à 0,9 que le livre soit entièrement corrigé.
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Jeu équitable

Dans cet exercice, nous étudions l'indépendance dans un jeu entre deux joueurs A et B. Chaque joueur joue plusieurs parties l'un après l'autre et le premier à gagner toutes les parties remporte le jeu. Les probabilités de victoire pour A et B sont notées respectivement a et b, avec a et b compris entre 0 et 1. La première question porte sur la probabilité que ni A ni B ne gagnent, c'est-à-dire qu'aucun des deux joueurs ne remporte les 2N parties. Pour cela, on utilise la probabilité de l'intersection des complémentaires, c'est-à-dire la probabilité que A perde chaque partie et que B perde également chaque partie. Comme les parties sont indépendantes, la probabilité de l'intersection des complémentaires est le produit des probabilités de perte pour chaque partie. Cela donne la formule 1-A^N * 1-B^N. Ensuite, nous cherchons la probabilité que A gagne ou que B gagne. Pour calculer la probabilité que A gagne, on additionne les probabilités de victoire pour chaque partie individuelle. La probabilité qu'une partie soit gagnée par A est a*(1-A)^(K-1)*(1-B)^(K-1), avec K allant de 0 à N-1. En factorisant cette somme, on obtient la formule A * (1-A)^N * (1-B)^N / (A + B - AB). De même, on peut calculer la probabilité que B gagne en utilisant la formule 1 - probabilité du match nul - probabilité que A gagne. Ceela donne la formule B - AB * (1-A)^N * (1-B)^N / (A + B - AB). Finalement, pour que le jeu soit équilibré, c'est-à-dire que les chances de victoire pour A et B soient égales, il faut que la probabilité que A gagne soit égale à la probabilité que B gagne. Cela se traduit par l'équation A = B - AB.