Online Généralités sur les Probabilités course by Top Instructors - Généralités sur les Probabilités

Indépendance et contexte

Dans cet exercice sur les probabilités, nous avons une urne avec 12 boules numérotées de 1 à 12. Nous tirons une boule au hasard et nous observons deux événements, A (tirage avec un nombre pair) et B (tirage avec un multiple de 3). La question est de savoir si A et B sont indépendants. Pour déterminer cela, nous utilisons l'équiprobabilité, ce qui signifie que chaque boule a la même chance d'être tirée. Pour calculer les probabilités, nous divisons simplement le nombre de résultats favorables par le nombre total de résultats possibles. La probabilité de A (nombre pair) est de 6 sur 12, soit 1,5. La probabilité de B (multiple de 3) est de 4 sur 12, soit un tiers. Ensuite, nous calculons la probabilité de l'intersection entre A et B. Il y a seulement 2 boules (6 et 12) qui répondent à ces critères, donc la probabilité de A inter B est de 2 sur 12, soit 1 sur 6. Cette probabilité est également égale au produit des probabilités individuelles de A et B (1,5 fois un tiers), ce qui donne également 1 sur 6. Donc, par définition, A et B sont indépendants dans ce cas. Si nous reprenons la question avec une urne contenant 13 boules, les calculs changent légèrement. Les possibilités pour A et B restent les mêmes, mais les probabilités sont ajustées en fonction du nombre total de boules (13 au lieu de 12). Ainsi, la probabilité de A est de 6 sur 13 et la probabilité de B est de 4 sur 13. Pour l'intersection, les résultats restent les mêmes (6 et 12), mais la probabilité est de 2 sur 13. Cependant, cette probabilité est différente du produit des probabilités individuelles de A et B (24 sur 169). Donc, dans le cas où nous avons 13 boules, les événements A et B ne sont plus considérés comme indépendants.

Indépendance deux à deux et indépendance mutuelle

Dans cet exercice de probabilité, nous considérons le contexte où notre voisine a deux enfants dont nous ignorons le sexe. Les trois événements à prendre en compte sont : A. Les deux enfants sont de sexe différent. B. L'aîné est une fille. C. Le cadet est un garçon. Nous voulons montrer que les événements A, B et C sont deux à deux indépendants, mais ne sont pas mutuellement indépendants. La probabilité de n'importe quel enfant de naître fille ou garçon est supposée être de 1,5 (50% pour les deux possibilités). Pour visualiser cela, nous utilisons un arbre avec les branches correspondant aux différentes possibilités de sexe pour chaque enfant. La probabilité de l'événement A (deux sexes différents) est de 2 chances sur 4, car il y a deux branches qui nous intéressent sur les quatre possibles. La probabilité de l'événement B (l'aîné est une fille) est également de 1,5, car il y a deux possibilités pour le sexe de l'aîné (garçon ou fille) avec une probabilité de 50% pour chacune. La probabilité de l'événement C (le cadet est un garçon) suit le même raisonnement, avec une probabilité de 1,5. Ensuite, pour montrer que ces événements sont deux à deux indépendants, nous calculons les probabilités des intersections de chaque paire d'événements et les comparons aux produits des probabilités correspondantes. Nous constatons que la probabilité de l'intersection de A et B (deux sexes différents et l'aîné est une fille) est de 1 sur 4, ce qui est égal au produit des probabilités de A et B. De même, l'intersection de A et C (deux sexes différents et le cadet est un garçon) a une probabilité de 1 sur 4, qui est également égale au produit des probabilités de A et C. L'intersection de B et C (l'aîné est une fille et le cadet est un garçon) suit la même logique, avec une probabilité de 1 quart, qui est égale au produit des probabilités de B et C. Cela démontre que les événements A, B et C sont deux à deux indépendants. Cependant, lorsque nous examinons la probabilité de l'intersection des trois événements (A, B et C), nous constatons qu'elle n'est pas égale au produit des probabilités individuelles. La probabilité de l'intersection des trois événements est de 1 quart (soit la probabilité d'avoir une fille puis un garçon), tandis que le produit des trois probabilités individuelles est de 1,8. Cela prouve que les événements A, B et C ne sont pas mutuellement indépendants. C'est ainsi que se termine cet exercice de probabilité.

Probabilité d’une réunion et indépendance

Dans cet exercice de probabilité, nous avons n événements, notés a1, a2, ..., an, qui sont mutuellement indépendants et ont des probabilités respectives pi. Nous souhaitons exprimer de manière simple la probabilité d'avoir au moins un de ces événements, c'est-à-dire p(a1, ou a2, ou ..., ou an), en fonction des pi. Nous savons que si les événements sont mutuellement indépendants, alors leurs complémentaires le sont également. Ainsi, la probabilité de l'union de ces événements peut être calculée en utilisant la formule suivante : 1 - la probabilité de l'intersection des complémentaires. La probabilité de l'intersection des complémentaires correspond au produit des probabilités des complémentaires de chaque événement. En utilisant la notation ai bar pour le complémentaire de ai, cela équivaut à 1 moins pi. Donc, la probabilité d'avoir au moins un de ces événements est égale à 1 moins le produit de (1 - pi), de i allant de 1 à n. Cette formule peut être appliquée dans le cas où une personne est soumise à n expériences indépendantes et a une probabilité p d'avoir un accident à chaque expérience. La probabilité qu'elle ait au moins un accident est alors égale à 1 moins la probabilité de ne pas avoir d'accident, soit 1 - (1 - p) à la puissance n. C'est ainsi que l'on peut calculer la probabilité d'avoir au moins un de ces événements dans le contexte de cet exercice.

indépendance impossible

Dans cet exercice, on cherche à prouver que deux événements A et B ne peuvent pas être indépendants. On suppose qu'on a un espace probabilisé avec un univers Ω et un modèle d'équiprobabilité où chaque événement a la même probabilité. On note N le cardinal de A et M le cardinal de B. La probabilité de A est N/P et la probabilité de B est M/P. On suppose qu'ils sont indépendants, ce qui signifie que la probabilité de leur intersection est égale au produit des probabilités. En remplaçant dans cette équation, on obtient que le cardinal de l'intersection A ∩ B est égal à MN/P. Comme le cardinal est un nombre entier, cela signifie que MN/P est un nombre entier. Puisque P est un nombre premier, on applique le théorème de Gauss, qui dit que si un nombre premier divise le produit de deux entiers, alors il divise au moins l'un des deux entiers. Supposons que P divise N. Comme N est inférieur ou égal à P, soit N est 0, ce qui signifie que A est l'ensemble vide, soit N est P, ce qui signifie que A est égal à Ω, l'univers. Donc, si A et B sont indépendants, les seules possibilités sont que A soit l'ensemble vide ou Ω. En conclusion, si A et B ne sont ni l'ensemble vide ni Ω, ils ne peuvent pas être indépendants.

Relectures indépendantes

Dans cet exercice de probabilités, nous nous intéressons à la correction d'un livre contenant quatre erreurs. Chaque erreur est corrigée lors d'une série de relectures, et chaque correction a une probabilité de réussite de 1/3. Les relectures et les corrections sont toutes indépendantes les unes des autres. La première question est de déterminer la probabilité que l'erreur numéro 1 ne soit pas corrigée après la énième relecture. Nous pouvons noter AI l'événement selon lequel l'erreur 1 est corrigée lors de la ième lecture. Nous avons déjà calculé que P(A1) = 1/3 (probabilité que l'erreur 1 soit corrigée à la première lecture) et P(A1') = 2/3 (probabilité que l'erreur 1 ne soit pas corrigée à la première lecture). Comme les AI sont indépendants les uns des autres, les AI' le sont aussi. Ainsi, la probabilité que l'erreur 1 ne soit pas corrigée après la énième relecture est donnée par (2/3)^n. La deuxième question concerne la probabilité que le livre soit entièrement corrigé après la énième relecture. Pour cela, nous devons trouver la probabilité des intersections des complémentaires des erreurs (BJ'). Comme les BJ sont indépendants, les BJ' le sont également. La probabilité de l'intersection des BJ' est donc donnée par (1 - 2/3)^4 = (1/3)^4. Enfin, la dernière question consiste à déterminer combien de relectures sont nécessaires pour que la probabilité que le livre soit entièrement corrigé soit supérieure à 0,9. Pour cela, nous devons résoudre l'inéquation (1/3)^n > 0,9. En utilisant des calculs logarithmiques, nous trouvons que n doit être supérieur à log(1 - 0,9)^1/4 / log(2/3), ce qui est approximativement égal à 10. Donc, pour n supérieur ou égal à 10, nous avons une probabilité supérieure à 0,9 que le livre soit entièrement corrigé.

Jeu équitable

Dans cet exercice, nous étudions l'indépendance dans un jeu entre deux joueurs A et B. Chaque joueur joue plusieurs parties l'un après l'autre et le premier à gagner toutes les parties remporte le jeu. Les probabilités de victoire pour A et B sont notées respectivement a et b, avec a et b compris entre 0 et 1. La première question porte sur la probabilité que ni A ni B ne gagnent, c'est-à-dire qu'aucun des deux joueurs ne remporte les 2N parties. Pour cela, on utilise la probabilité de l'intersection des complémentaires, c'est-à-dire la probabilité que A perde chaque partie et que B perde également chaque partie. Comme les parties sont indépendantes, la probabilité de l'intersection des complémentaires est le produit des probabilités de perte pour chaque partie. Cela donne la formule 1-A^N * 1-B^N. Ensuite, nous cherchons la probabilité que A gagne ou que B gagne. Pour calculer la probabilité que A gagne, on additionne les probabilités de victoire pour chaque partie individuelle. La probabilité qu'une partie soit gagnée par A est a*(1-A)^(K-1)*(1-B)^(K-1), avec K allant de 0 à N-1. En factorisant cette somme, on obtient la formule A * (1-A)^N * (1-B)^N / (A + B - AB). De même, on peut calculer la probabilité que B gagne en utilisant la formule 1 - probabilité du match nul - probabilité que A gagne. Ceela donne la formule B - AB * (1-A)^N * (1-B)^N / (A + B - AB). Finalement, pour que le jeu soit équilibré, c'est-à-dire que les chances de victoire pour A et B soient égales, il faut que la probabilité que A gagne soit égale à la probabilité que B gagne. Cela se traduit par l'équation A = B - AB.

Cardinal de l’univers

Dans cet exercice de probabilité, on nous présente un univers fini et un ensemble d'événements mutuellement indépendants. On crée ensuite de nouveaux événements qui appartiennent aux partitions de cet univers. La condition est que chaque nouvel événement soit égal à l'événement d'origine ou à son complémentaire. On démontre ensuite que l'intersection de tous ces nouveaux événements n'est pas vide. En effet, les événements sont indépendants, ce qui signifie que la probabilité de leur intersection est le produit de leurs probabilités respectives. Comme les probabilités des nouveaux événements sont toutes différentes de zéro, leur intersection sera donc également différente de l'ensemble vide. Ensuite, on nous demande de montrer que si les nouveaux événements sont différents, alors leurs intersections sont disjointes. On prouve cela en supposant que l'un des nouveaux événements est différent des autres. Cela implique qu'il existe un événement d'origine qui diffère entre les deux ensembles. Comme les nouveaux événements sont soit égaux à l'événement d'origine, soit à son complémentaire, alors leurs intersections seront vides. Enfin, on en déduit que le cardinal de l'univers est supérieur ou égal à 2 puissance n (où n est le nombre d'événements d'origine). On montre cela en utilisant le fait que chaque nouvel événement contient au moins un élément de l'univers, et que ces éléments sont tous différents les uns des autres. Puisque chaque nouvel événement a deux possibilités (correspondant à l'événement d'origine ou à son complémentaire) et qu'il y a n événements, il y a donc au moins 2 puissance n éléments dans l'univers. Voilà pour un résumé SEO friendly de cet exercice de probabilité.

Indicatrice d’Euler

Dans cet exercice de Proba, nous avons un entier N strictement supérieur à 1 et nous choisissons de manière équiprobable un entier X parmi les entiers entre 1 et N. Nous définissons les événements AM, où M est inférieur ou égal à N, comme étant l'événement où M divise X. L'événement B correspond à X étant premier avec N. Nous notons P1 jusqu'à PR tous les diviseurs premiers de N. Pour exprimer B en fonction des APK, nous devons noter que si X est premier avec N, cela signifie qu'aucun PK ne divise X. Ainsi, B peut être exprimé comme l'intersection des complémentaires de AP1, AP2, jusqu'à APR. Pour calculer la probabilité de AM pour tout entier M qui divise N, nous considérons que N est égal à Kfois M et examinons les multiples de N plus petits que N, tous étant dans AM. Il y a K tels multiples car N est égal à K fois M. Ainsi, la probabilité de AM est égale à K/N. Ensuite, pour montrer que les événements AP1, AP2, jusqu'à APR sont mutuellement indépendants, nous utilisons la définition. Nous prenons des entiers I1 jusqu'à IK choisis parmi les nombres premiers. Étant donné que les PIJ sont premiers entre eux, le produit des probabilités est égal à la probabilité de l'intersection. Ainsi, les événements AP1, AP2, jusqu'à APR sont mutuellement indépendants. Nous en déduisons que la probabilité de B est égale au produit des probabilités des complémentaires de AP1, AP2, jusqu'à APR. En utilisant le fait que la probabilité de APJ bar est égale à 1-PJ, nous pouvons exprimer la probabilité de B comme le produit de 1 moins PJ pour J allant de 1 à R. Enfin, nous notons Phi de N comme l'indicatrice de l'ensemble des entiers plus petits que N qui sont premiers avec N. Nous montrons que Phi de N est égal à N fois le produit de 1 moins PK pour K allant de 1 à R. Cela ressemble à la probabilité de B, et en utilisant l'équiprobabilité, nous pouvons exprimer Phi de N comme N fois ce produit.

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