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Continuité

Dans cette méthode de calcul de limite avec suites définies par récurrence, il faut vérifier les hypothèses pour bien trouver la limite et la justifier. La suite est convergente vers une limite L si la relation de récurrence type un+1=f(un) vérifie que si la suite converge vers une limite L, alors un+1 converge aussi, en passant à la limite. Cela nécessite que f soit continue. En cherchant les points fixes, solutions de l'équation f(x)=x, on peut trouver la solution de la limite qui peut être unique ou multiple suivant la fonction f. Il faut alors être vigilant sur la continuité de f pour éviter les erreurs. Le premier terme de la suite est essentiel, car le comportement de la suite dépend de sa valeur. Si le premier terme est négatif et que la suite diverge, alors la solution de la limite est impossible.

Alors on va s'intéresser dans cette méthode sur le calcul d'une limite quand la suite est définie par récurrence. Donc ça c'est quelque chose de très classique sur lequel vous allez tomber souvent, ce qu'on appelle plus communément les suites définies en escalier. Et donc on va regarder précisément quelles sont les hypothèses à vérifier pour bien trouver la limite et bien la justifier. Donc la méthode c'est la suivante, on va s'intéresser à une suite en particulier qui est définie par u0 égale 1 et un plus 1 égale un fois e de moins un. Donc on va voir aussi, c'est très important, que la convergence dépend du premier terme, en tout cas peut dépendre du premier terme. Donc ça on va le voir, c'est très important de vérifier ce point. Donc pour une suite qui est définie par récurrence type un plus 1 égale f de un, où f est une fonction, c'est ça qui va faire qu'on a une suite en escalier. Si la suite est convergente vers une limite L, alors un plus 1 aussi. Donc c'est là on va passer à la limite de l'égalité un plus 1 égale f de un. Donc on passe à la limite et là on se dit, je prends la limite de un plus 1 ça fait L, et f de un, comme un est envers L, ça fait f de L. Et donc L est nécessairement ce qu'on appelle un point fixe, avec les solutions de l'équation f de x égale x. Mais ça c'est vrai, mais uniquement si f est continu, c'est un paramètre essentiel. Je vais revenir à la fin de la vidéo pour vous montrer que si f n'est pas continu, ça ne marche pas. Ce qui est très important dans cette méthode, c'est de bien justifier la continuité. Alors là l'énoncé vous facilite la tâche, il vous dit qu'on admet qu'elle converge vers L, donc on ne justifie pas très bien pourquoi, mais c'est ça la clé, c'est de trouver les points fixes, et les solutions sont parmi les points fixes. La solution de la limite est parmi les points fixes, il peut y en avoir plusieurs, et il faudra regarder au cas par cas si c'est lui, si c'est l'autre, etc. S'il n'y a pas de point fixe, il n'y a forcément pas de limite, la limite ne peut être que parmi ces points fixes. Je répète, s'il n'y a pas de solution à l'équation f de x égale x, il n'y a pas de point fixe, il ne peut pas y avoir de limite pour ce type de suite défini par occurrence avec une relation de dip un plus 1 égale f de un. Là, on va étudier ces points fixes, on pose la fonction f de x égale x fois e de moins x, je résous f de x égale x, je trouve que, alors là, faites attention, j'ai une relation du type x fois e de moins x égale x, ne divisons pas comme des barbares par x, on a le droit de diviser que si, par un nombre, que si les différentes 0. Il y a deux solutions, soit x égale à 0, et là je vois que c'est solution, parce que ça fait 0 égale 0, soit les différentes 0, et je divise par x et je trouve e de moins x égale 1. Ce qui fait que c'est exactement la même solution. Là, en l'occurrence, même si on ne l'avait pas bien vu, on n'aurait pas fait d'erreur, mais dans le raisonnement, c'est ça. J'aurais pu tomber sur une solution différente, du type x égale 1. Du coup, j'aurais eu deux solutions, x égale 0 et x égale 1. Donc, là, il n'y a qu'une solution possible, à l'équation f de x égale x, bien sûr, et donc c'est x égale à 0. Comme on nous a dit qu'on suppose qu'elle est convergente, très bien, c'est la seule limite possible. Alors, regardons comment ça se représente graphiquement. On fait la fameuse construction en étalier, u0, je calcule u1, je le reporte sur l'axe des abscisses, y égale x, je calcule u2, c'est u1 en abscisse, u2 en ordonnée, etc. Là, je vois que ça converge vers 0. Pourquoi ça dépend maintenant du premier terme u0? Je vais vous montrer tout de suite, et en fait, c'est essentiel. On va regarder sur le graphique pourquoi le premier terme est très important. Alors, pourquoi le premier terme est essentiel? On va le voir tout de suite. Si je bouge u0, je vois que si je bouge mon u0, on voit graphiquement que tant que je suis supérieur à 0, pas de problème, ma suite converge. Par contre, si jamais mon u0 est négatif, je vois tout de suite que ma suite va diverger vers moins l'infini. Donc, le premier terme est essentiel. Ici, ça ne marche que si u0 est positif, c'est pour ça qu'on dit que la solution est parmi les points fixes. Mais là, j'ai un point fixe, ça ne veut pas dire que ma suite converge. Là, j'ai toujours la même fonction, pourtant j'ai changé mon premier terme, et du coup, ma suite ne converge pas. Donc, il faut faire bien attention à ça. Mais de toute façon, l'énoncé nous a bien dit qu'on suppose qu'elle converge. Donc, si elle converge, je sais que c'est parmi les points fixes. Et j'en ai trouvé qu'un, donc c'est bon. Maintenant, pourquoi la continuité est vraiment essentielle pour ce type de fonction? Je vais vous montrer un exemple pour que vous compreniez. Là, j'ai créé une fonction qui est constante, égale à 1, de moins l'infini, jusqu'à un réel a. Et en a, elle est constante, égale à 1. Et en a, je dis qu'elle vaut 2. Cette fonction est clairement discontinue. Le fait que je redis la définition de la continuité, c'est que la limite en x tend vers a de f de x, est égale à f de a. Ça, c'est la définition de la continuité. Donc, je vais vous montrer pourquoi cette fonction qui n'est pas continue va poser problème. Je trouve une suite particulière qui est un, égale à a moins 1 sur n. Cette suite va être là, là, là, là, là, là, là, là, là, elle va converger vers a sans jamais être égale à a. C'est ça qui est très important. Elle va être tout le temps strictement inférieure à 1, mais elle va être de plus en plus proche. Cette fonction là, je la pose proprement, c'est f de x égale 1 si x dépend de a, f de x égale 2 si x égale a. Qu'est-ce qui se passe là? Tel que je l'ai dit, un est tout le temps strictement supérieur à a. Donc, quel que soit n, pour toutes n appartenant aux entiers naturels, j'ai f de un qui sera égale à 1, jamais à 2. Or, un tend vers a. Et donc là, je n'ai pas l'égalité entre la limite de f de un en plus infini, qui vaut toujours 1, donc sa limite c'est 1 aussi, vu qu'elle est constante égale à 1, f de un, et donc c'est différent de f de a, et f de la limite des un. Donc typiquement, où est-ce que ça poserait problème dans mon raisonnement, si je remonte un peu, c'est ici. Là j'ai un plus un égale à f de un, et vous voyez, qu'est-ce que j'ai fait comme raccourci? J'ai dit un tend vers l, donc f de un tend vers f de l. Ça c'est faux si f n'est pas continu. J'ai besoin de la continuité, par contre si j'ai la continuité, c'est bon. Voilà pourquoi il nous faut absolument la continuité. Ce sont des choses que vous étudierez pour ceux qui continuent en prépa l'année prochaine, ce qu'on appelle permuter la limite des f. On a écrit que limite de f de un égale à f de limite de un. Vous étudierez ça précisément l'année prochaine, formellement, mais en tout cas voilà pourquoi ce point est très important. Voilà pour cette méthode, si vous avez des questions sur ce point un peu technique, n'hésitez pas à aller voir la FAQ.

Continuité et suites 1

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