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Continuité

Dans ce cours, nous étudions les suites définies par récurrence, en nous intéressant à leur limite. Nous commençons par associer une fonction f à la suite, telle que n+1 soit égal à f(n). Pour résoudre cette équation, nous devons étudier la continuité de f. Pour ce type d'exercice, la continuité de f est essentielle. Ensuite, nous résolvons l'équation f(x) = x pour trouver les valeurs possibles de la limite de la suite. Nous étudions également la dérivabilité de f. Il est important de noter que f peut ne pas être définie en certains points, ce qui impacte sa croissance. Nous passons ensuite à la démonstration par récurrence que 0.5 < u1 < u1+1 < 3. Nous utilisons la propriété de croissance de f pour composer avec l'hypothèse de récurrence. Nous concluons que la suite est croissante et bornée. En utilisant ces informations, nous déduisons que la suite converge vers une limite L. Enfin, nous soulignons l'importance de la continuité de f pour pouvoir affirmer que la limite est bien une solution de l'équation f(x) = x.

Alors on va voir maintenant un grand classique, c'est celui d'une suite définie par récurrence avec l'étude de sa limite, avec les fameuses constructions en escalier que vous avez dû voir plusieurs fois. Là on va reprendre de A à Z cette méthode, comment on fait pour traiter. Déjà pour ces suites définies par récurrence, on va associer une fonction f et la suite sera définie de telle sorte qu'on est un plus un égale à f de un, c'est ça qu'on va regarder. D'abord on va étudier la fonction f, et pour ce genre d'exercice on a besoin de la continuité de f. Je vais vous montrer à la fin pourquoi c'est très important. Déjà on va étudier la continuité de f, sur i qui est r privé de 2, elle est continue, comme conscience de fonction continue, il n'y a pas de problème, tout marche bien. Ensuite on nous demande de résoudre l'équation f de x égale x, donc ça on a l'habitude, on se dit ça sera pour trouver la limite de la suite, parce qu'on sait que la limite de la suite sera elle, sera forcément solution de cette équation f de x égale x. Donc on résout déjà, comme ça on aura déjà le travail qui est fait. Donc je résous, j'ai le droit de multiplier par x plus 2 ici parce que je suis sur l'intervalle de i, donc x différent de 2, je peux multiplier par x plus 2, x différent de moins 2, donc je résous, je résous, je résous, je tombe sur une équation de degré 2, x² égale 1, alors attention n'oubliez pas la deuxième solution, il y a x égale 1 ou x égale moins 1, donc je sais que ma limite de suite, si ma suite converge, ce sera forcément l'une de ces deux solutions. Ensuite on me demande d'étudier la fonction f, donc f elle est bien dérivable, je fais comme c'est un quotient de fonction dérivable sur i, j'utilise ma formule u'v moins uv', je fais les calculs et je trouve 1 sur x plus 2 au carré, c'est donc strictement supérieur à 0, donc ça veut dire que f est croissante sur moins l'infini moins 2 et sur moins 2 plus l'infini, décidément le moins, il a du mal aujourd'hui à passer, il y a un moins ici, alors attention, très important, f elle n'est pas définie en moins 2, donc ne me dit pas s'il vous plaît qu'elle est croissante sur i ou sur moins l'infini moins 2 union 2 plus l'infini, c'est très différent, ce que j'ai écrit là, ici et là, là c'est elle est croissante et sur moins l'infini de 2, moins 2 et sur moins 2 plus l'infini, ce n'est pas union, c'est très différent, donc là je suis d'accord avec vous, l'énoncé dit qu'elle est croissante sur r'v de 2, c'est très mal dit, en fait c'est très mal dit, pour moi c'est une erreur d'énoncé, parce qu'elle est croissante sur le premier intervalle et sur le deuxième mais pas sur l'union des deux, pourquoi ? je vais vous montrer très concrètement pourquoi, si elle est croissante sur cet intervalle, si elle était croissante sur i, je voudrais dire que si j'applique la définition que vous avez vue en seconde de la croissance, je voudrais dire que quel que soit x, y appartenant à i, si j'ai x plus petit que y, j'ai f de x qui est plus petit que f de y, c'est ça la croissance, on se sent passer par la dérivée, c'est ça, et donc là j'ai pris deux points quelconques sur la courbe, j'ai pris le point A qui est de coordonnée moins 5, 3 ici qui est sur la courbe, et le point B qui est de coordonnée moins 1, moins 1, donc ces deux points appartenant à la courbe, j'ai bien xA qui est plus petit que xB, mais pourtant j'ai yA qui est plus grand que yB, on le voit sur le dessin, c'est hyper clair, donc du coup ça contredit la croissance, donc on ne peut pas dire que f est croissante sur i, elle va être croissante sur cet intervalle là, sur moins l'infini, moins 2, et sur moins 2 plus l'infini, mais entre les deux on ne sait pas ce qu'il se passe, en l'occurrence la valeur interdite casse tout le truc, donc faites très attention à ça. Alors, continuons, on nous demande, l'énoncé nous demande ensuite, on pose u de 0 égale 0, et on définit la fameuse relation de récurrence u1 plus 1 égale f de u1, donc on nous demande de démontrer par récurrence que 0.5 plus petit que u1, plus petit que u1 plus 1, plus petit que 3, là on voit qu'il y a plein d'infos dans cette inégalité qu'on va montrer, notamment que la suite est croissante, et qu'en plus qu'elle sera bornée, donc on a deux infos qu'on va montrer. Très bien, donc ma propriété de récurrence c'est p2n égale 0.5, enfin p2n, ma propriété c'est 0.5 plus petit que u1, plus petit que u1 plus 1, plus petit que 3, alors s'il vous plaît ne mettez pas de pour toute n dans p2n, vous savez p2n ne contient pas de p2n, c'est une propriété au rang n, donc il ne faut pas dire pour toute n, c'est un rang n fixé. Ensuite on veut montrer que p2n est vrai pour toute n appartenant à n étoiles. Encore, décidément dans cet exercice il y a pas mal d'erreurs dénoncées, c'est pas vrai pour n tout entier, c'est dans n étoiles, ce qu'on va voir juste avant, u0 ça vaut 0, donc on n'est pas dans l'intervalle 0.5.3, donc ça ne marche pas pour u0. Par contre pour u1 c'est bon, ça fait 1, et pour u2 ça fait 3.5, donc c'est bon. Donc à partir de u1 en tout cas, pour l'initialisation, ça a l'air d'être bon. Donc j'ai bien initialisé au rang 1, qui est correct. Ensuite, on fait l'hypothèse de récurrence, l'hérédité. Donc pour l'hérédité, s'il vous plaît aussi, surtout quand c'est compliqué, là à vous de juger si c'est le cas ou pas, on a déjà vu plus compliqué, mais en tout cas, écrivez ce que vous supposez, c'est à dire que p2n est vrai pour un rang n quelconque fixé, n super 1, je l'écris, et je veux montrer que p2n plus 1 est vrai. Écrivez-le aussi explicitement, vraiment, écrivez-le explicitement, comme ça on voit ce que je veux montrer. Dans une propriété par récurrence, je dois utiliser l'hypothèse de récurrence, donc je sais que je dois partir de là, pour arriver là en fait. Donc c'est très important de les écrire, de les avoir sous les yeux, je vous assure que ça aide beaucoup. Donc là, comme on va composer pour passer de un à un plus un, à un plus un et à un plus deux, on va composer par f, donc là il faut vraiment penser à utiliser la croissance de f. f est croissante sur 2 plus infini, donc sur 0,53, qui est un sous-intervalle de cet intervalle là, et du coup, j'ai l'idée de prendre mon hypothèse de récurrence, mon inégalité de l'hypothèse de récurrence, et de composer par f. Donc ça fait que, comme f est croissante, on garde le même sens des inégalités, donc là j'ai f de 0,5, f de un, f de un plus un, et f de 3. Je calcule combien ça fait, f de 0,5 ça fait 4 cinquièmes, ça tombe bien c'est plus grand que 0,5, f de 3 ça vaut 7 cinquièmes, ça tombe bien c'est plus petit que 3, et f de un évidemment c'est un plus un, et f de un plus un c'est un plus deux. Donc si je transforme tous mes calculs, j'ai 4 cinquièmes qui est plus petit que un plus un, qui est plus petit que un plus deux, qui est plus petit que 7 cinquièmes. Je continue, c'est plus petit que 3, et là c'est plus grand que 0,5. Donc finalement, si j'enlève cette partie là, et cette partie là, j'ai exactement ce que je veux montrer. J'ai bien 0,5 plus petit que un plus un, plus petit que un plus deux, plus petit que 3. Donc c'est bon, j'ai montré l'hérédité, et donc d'après le principe de récurrence, on a la propriété demandée. Alors, on demande de conclure que un est convergente, et vers quelle limite. Donc là évidemment il faut utiliser ce qu'on vient de montrer. Comme je l'ai dit, on a deux infos. La première c'est que un est croissante, à cause de cette partie là, et un est majoré. Donc, une suite croissante majorée, elle est convergente, vers une limite L. Maintenant ça ne dit pas la limite, mais au moins je sais déjà qu'elle est convergente. Et ensuite, comme on a une fonction définie par récurrence avec une fonction f continue, elle sera solution de l'équation f de x égale x. Le f continue, encore une fois, est très important. Je vais vous montrer juste à la fin un exemple où elle n'est pas continue, et du coup ça ne marchera pas. Donc en fait, pourquoi la continuité est hyper importante, c'est qu'en fait, l'UN converge vers L, donc là j'ai f de L qui est égale à la limite de f de UN. Donc ça veut dire que je peux permuter f et la limite. C'est ça fondamentalement, pour ceux qui continueront l'année prochaine. C'est ça ce qu'il y a derrière. Donc en fait, on a besoin de cette continuité pour dire que elle est forcément solution de f de x égale x. On vient de faire le calcul, on sait que ça veut dire qu'elle vaut forcément 1 ou moins 1, donc là, il va falloir trouver lequel des deux, parce qu'on ne peut pas avoir de limite, elle est unique. Là, c'est l'inégalité qu'on avait montrée. En fait, comme UN est plus petit que UN plus 1 et plus petit que 3, on passe à la limite, et du coup, j'ai forcément L qui est compris entre 0,5 et 3. Donc L ne peut que être égale à 1. Attention, petite remarque, ici ça n'a pas d'importance, mais ça peut en avoir dans certains exercices, on passe à la limite, les inégalités strictes deviennent larges. Donc là, le plus strictement inférieur à 3 devient inférieur au égal. Encore une fois, ici, ça n'a aucun impact, je m'en fiche, et les inégalités qui étaient déjà larges, elles restent larges. Toutes les inégalités deviennent larges. Voilà comment ça se représente sur le graphique. Là, j'ai U0, on fait notre fameuse méthode en escalier, je construis U1, ensuite je reporte sur l'axe des Y qui est à l'X, je recalcule, U1 est ici, je calcule F de U1 qui est à la U2, etc. Là, je vois bien que je vais converger vers ce qu'on appelle le point fixe, qui est ici, qui est 1, pour lequel F de 1 est égal à 1. Maintenant, je vais vous dire pourquoi la continuité est hyper importante. Imaginons que j'utilise une autre fonction F qui est exactement la même sauf en 1. Je pose F de... Je prends la même fonction pour tout X différent de 1, et pour X égal à 1, je pose F de 1 égale 0.4. Là, ça fait que ma fonction n'est pas continue parce qu'elle est... Elle vaut exactement ce qu'il y a sur la courbe ici, et en ce point-là, si continuité, elle vaut F de 1 égale 0.4. Vous voyez bien que si je refais ma construction, il n'y a rien qui va changer pour ma suite, elle va bien faire la même chose en escalier. Comme cette valeur-là n'est jamais atteinte, elle se rapproche de plus en plus, mais on n'est jamais pile dessus, ça n'a rien changé, j'ai bien ma suite qui va converger vers 1, mais par contre, je ne peux pas dire que cette solution, cette limite 1, n'est pas solution de F de X égale X, puisque en 1, je n'ai pas F de 1 qui est égale à 1, j'ai F de 1 égale à 0.4. Donc là, vous voyez bien que mon théorème ne marche pas, je ne peux pas dire que je cherche cette solution parmi F de X égale X. Voilà pourquoi c'est très important de choisir, de justifier que votre fonction est continue, pour pouvoir dire que la limite que je cherche est solution de F de X égale X. Voilà pour cette méthode sur les bits définis par récurrence, pour trouver leurs limites. J'espère que c'était clair pour vous, si vous avez des questions, n'hésitez pas à aller dans l'FAQ, et vous pouvez vous entraîner avec la méthode BIS, qui reproduit ce même genre d'énoncé, avec des instructions un peu différentes. Voilà pour cette méthode !

Continuité et Suites 2

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