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Continuité

La continuité d'une fonction est définie par une limite finie en un point qui est égale à la valeur de la fonction en ce point. Si pour un couloir fixé, toutes les valeurs de la fonction dans un couloir vertical atteignent le couloir orange, alors la fonction est continue. La discontinuité peut survenir pour diverses raisons, comme la non-existence d'un point ou une saute soudaine dans la fonction. Si la discontinuité est basée sur l'impossibilité de définition, comme dans le cas de 1/x en 0, alors la fonction n'est même pas continue. Si la discontinuité est rattrapable, comme dans le cas du sinus sur x avec un point ajouté en 0, alors la fonction est considérée comme prolongeable par continuité.

Petite vidéo pour illustrer ce que peuvent être des discontinuités. Je commence avec un graphe de continuité. On avait dit que la continuité, c'était quand il y avait une limite finie en un point, et que la limite finie en ce point était la valeur de la fonction. Ce que j'expliquais, c'est que pour un couloir fixé de la taille qu'on veut, de taille orange ici par exemple, un couloir horizontal, si je peux trouver un couloir vertical tel que toutes les valeurs de la fonction dans ce couloir arrivent dans le couloir orange, alors c'est bon, ici c'est mort pour ce couloir bleu parce que je vois que j'ai des valeurs extérieures, mais ce n'est pas grave parce que j'ai le droit de prendre le couloir bleu que je peux, l'important c'est de pouvoir en trouver. Donc si je vais par exemple prendre un couloir assez petit comme ça, je me rends compte que j'ai bien toutes les valeurs de la fonction qui sont dans ce couloir. Donc en gros, ça veut dire que si je réduis le couloir orange, je vais pouvoir me rapprocher infiniment du point au milieu. Donc ça, c'est un exemple de continuité. Prenons un premier exemple de discontinuité qui va être assez simple. Ça va être la discontinuité par non-existence du point, par non-définition. Donc par exemple, si je prends 1 sur x comme ça, en fait en 0, le point n'est même pas défini. C'est-à-dire que je ne peux même pas me poser la question de est-ce que la fonction est continue? Non, la fonction n'est pas continue en 0 car la fonction n'est même pas définie en 0. Elle n'est pas définie en 0 et on a en plus à droite un comportement qui tend vers plus infini, donc une branche qui monte très haut et à gauche une branche qui monte très bas. Donc ça c'est un type de discontinuité assez intuitif, je lève le stylo en effet. C'est une discontinuité qui est basée sur une impossibilité de définition. Donc assez simple. Ce qui peut être intéressant ensuite, c'est un exemple un peu plus percutant du genre celui-là. C'est une fonction que je définis comme ceci. D'abord une parabole à gauche qui vient, une sorte de parabole, je ne sais pas c'est genre 1-x2, un truc comme ça, qui va vers le bas, qui fait la tête, et que je continue ensuite avec une parabole ici. Donc si je prends ce point et je le déplace, vous voyez qu'ici en 0, la valeur de 0 c'est 0, c'est-à-dire que la valeur de 0 est attribuée à la branche de droite. Je n'ai pas de valeur attribuée à gauche, c'est-à-dire que là on vient s'approcher infiniment et on saute ici. Donc comme il y a un saut, je dois prendre mon stylo et donc lever la main, et l'idée c'est qu'ici quoi que je fasse, je ne pourrai jamais trouver un couloir bleu tel que toutes les valeurs de la fonction sont dans le couloir orange, parce qu'autour de ce point, il y a des valeurs qui ne sont déjà même pas dans le couloir orange quand je le prends de cette taille-là. Donc si vous voulez on peut le tracer, si je prends ça, je peux faire un peu ce que je veux ici. Je peux faire ce que j'ai envie, même si à droite, en effet, ici, c'est vrai que je vais pouvoir avoir, je peux trouver un couloir assez petit pour que toutes les valeurs tombent dans le couloir orange, par exemple comme ça, à gauche ça ne sera jamais le cas, c'est donc une discontinuité, donc ça se voyait. Mais voilà un exemple, on voit bien que la définition fonctionne, parce que quand c'est discontinu, on ne peut pas faire ce que la définition demanderait. Un dernier exemple, c'est un exemple où il y a un saut mais rattrapable. Par exemple j'ai pris une fonction, je vais effacer ça, qui s'appelle sinx sur x. Sinx sur x, comment je vais définir? Pour l'instant je vais virer le truc orange. Sinx sur x, c'est assez simple, elle n'est pas définie en 0. C'est à dire qu'en fait, la fonction, si je dézoome un peu, c'est un espèce de sinus, vous voyez, qui se comprime avec le temps, il est divisé par x, donc quand x devient très gros ça s'écrase. Sinx sur x n'est pas définie en 0, c'est à dire que quand on arrive proche d'ici, il y a deux branches, il y a une branche jusqu'ici, à gauche, et puis une branche qui reprend juste après 0, et qui part comme ça. On a l'impression que quand même, c'est vrai qu'en 0 ce n'est pas défini, parce que sinon je devrais écrire sin0 divisé par 0, et diviser par 0 c'est interdit, mais on se dit qu'un point ici, ça serait quand même pas mal venu. Là j'ai défini une fonction, si vous voulez, où j'ai dit, pour x négatif strict, sinx sur x, pour x positif strict là-haut, sinx sur x, et pour x égal à 0, j'ai décidé de mettre un point, et j'ai mis 1,7, en fait j'ai mis un point fixe, un point mobile comme ça. Je peux choisir d'ajouter, à la définition de la fonction qui était pour l'instant définie sur r étoile, sinx sur x, je peux dire que c'est sinx sur x sur r étoile, mais en 0 je mets une valeur. C'est discontinu, en effet, si je trace comme d'hab ces trucs-là, je peux faire ce que je veux, mais je n'ai jamais trouvé de valeur autour de ce point qui fonctionne. C'est discontinu parce que le point est complètement à côté de la courbe. Mais quand j'appelle ça un point rattrapable, c'est-à-dire que c'est une fonction qu'on va appeler prolongeable par continuité, ça veut dire qu'il est possible de prendre une valeur de ce point qui va marcher. Là la valeur est tout indiquée, je vois que sinx sur x arrive par ici à gauche, il arrive par ici à droite, la valeur du point qui va marcher c'est celle qui est pile-poil ici. Donc c'est ce point-là, c'est le point, c'est le point de continuité pour lequel la valeur vaut 1, en 0. Donc il existe un point où la fonction vient continuer. Ça c'est un exemple sympa, c'est une fonction prolongeable par continuité.

Discontinuités : exemples

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