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Le théorème du point fixe est un résultat important en mathématiques qui s'applique à l'étude des suites. Il dit que si une fonction continue f sur un intervalle i a un point fixe l tel que f(l)=l, alors toute suite définie récursivement par un+1=f(un) converge vers ce point fixe l. Cependant, il est important de noter que la continuité de la fonction est nécessaire pour que ce théorème fonctionne. Enfin, il existe différents types de convergence possibles pour les suites définies de manière récurrente, en fonction de la courbure de la fonction.

Une importante application de l'étude de la continuité, c'est l'étude des suites. Pour cela, on a un théorème très fondamental au programme, au terminal, c'est le théorème du point fixe. Pour une fonction f définie continue sur un intervalle i et une suite un, définie de telle manière que pour toute n, on a un qui appartient à I, donc on reste dans le même intervalle, et un plus un qui est égal à f de un. Donc c'est une suite qu'on définit par récurrence. On définit la construction de la suite d'un terme à l'autre avec une relation de récurrence. Si un converge vers l, l dans I, alors on a la relation f de l égale l. En fait, c'est un résultat très très intuitif dans le sens que quand vous voyez ce truc-là, vous vous dites, ben oui, forcément je prends un quand n tend à plus infinie, ça tend vers l, ça on l'a dit ici, donc le terme de gauche tend bien vers l, et donc le terme de droite, f de un, tend, et vu que un tend vers l, ça devient f de l. Mais rappelez-vous que pour que la limite de f de x, quand x va au bon endroit, donc x ici c'est un, quand un tend vers l, pour que la limite de f de x aille vers la valeur f de a, il nous faut la continuité, c'est la définition de la continuité. Si vous voulez, la un joue le rôle du x dans la définition de la continuité qui est limite de f de x. Quand x tend vers a, égal f de a. Là c'est la même chose, c'est limite de f de un quand un tend vers l, égal f de l. C'est très intuitif, quand on l'écrit on se dit que ça devrait être bon tout le temps, mais si la fonction n'est pas continue, ça ne marchera pas. C'est pour ça qu'on a ce théorème. Démontrons-le, c'est au programme. Alors, je vous ai remis le théorème ici. Un converge. Bon, si un converge vers l, on peut écrire que un tend vers l et un plus un tend vers l. Comme f est continue, on peut écrire que limite de f de x quand x tend vers l, égal f de l. En effet, f est continue sur I, et l appartient à I. C'est donc juste l'application de la définition de la continuité pour un point de l'intervalle où f est continue. Dans ce cas-là, quand je combine ces deux choses-là, c'est en fait comme je disais en introduction, un qui va jouer le rôle de x. Par composition, si vous voulez, je peux dire que limite de f de un quand n tend vers plus infini, c'est-à-dire que si n tend vers plus infini, ça voudra dire que un va bien tendre vers l, donc le un tend vers l, c'est parfait, limite de f de un va être égal à f de l. Merci la continuité, c'est parce que c'est continue que je peux écrire ça. Ensuite, comme j'ai cette relation-là, un plus un tend vers l et limite de f de un égal f de l, mais f de un, c'est un plus un, je peux écrire tout simplement que l est égal à f de l par unicité de la limite. Le fait que d'un côté ça tende vers l, de l'autre côté j'ai montré que ça tend vers f de l, comme il y a une seule limite pour toutes suites données, ça veut dire que je suis en train de parler de la même chose. Donc l égal à f de l, fin de la démonstration. Je vous avais rajouté en bonus un petit rappel de choses que vous avez dû voir rapidement en première. Ensuite, pour les fonctions f bien continue, donc si on prend une fonction f continue mais croissante ici en bleu, et croissante de type concave, et une suite par exemple ici décroissante convex, on aura des comportements de convergence qui ne sont pas les mêmes. Si vous prenez un petit u0, vous calculez que u1 aura la valeur ici, etc. Je ne vais pas vous faire le rappel complet, mais pour vous remettre un peu ces images à l'esprit, vous aurez avec les suites définies de manière récurrente, c'est-à-dire du type un plus un égal à f de un, deux types de convergence possibles, qu'on appelle une en escalier, parce qu'on voit qu'on va s'approcher de plus en plus du point d'intersection entre ma fonction et la droite y égal x, et une convergence qu'on appelle en escargot, qui est également une espèce d'approche étape par étape de ce point d'intersection entre fonction et y égal x, mais cette fois-ci en escargot, parce qu'on retourne autour. Voilà, c'était un petit rappel, ça conclut ma vidéo, et je vous dis à la prochaine.

Continuité et suites : Théorème du point fixe

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