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Dérivabilité avec valeur absolue ?
Dans cet exercice, nous devons démontrer que la fonction donnée est continue et dérivable sur R, à l'exception de x=0.
Tout d'abord, nous vérifions que la fonction 1+x est définie sur R, car pour tout x, 1+x est strictement supérieur à 0. Ainsi, il n'y a pas de problème de définition.
Ensuite, nous observons que le quotient de deux fonctions continues donne une fonction continue, ce qui confirme que notre fonction est continue sur R.
En ce qui concerne la dérivabilité, nous constatons que pour tout x différent de 0, la fonction est dérivable puisque x et 1+x sont dérivables sur R, à l'exception de x=0.
Nous supposons donc que la fonction sera également dérivable en x=0. Cette supposition est basée sur le fait que la fonction semble être assez lisse et ne présente pas de rupture de pente.
Nous déterminons ensuite l'expression de la fonction en fonction du signe de x. Au point 0, nous constatons que les limites à gauche et à droite de la fonction sont identiques, confirmant ainsi sa continuité.
Pour démontrer que la fonction est dérivable sur R à l'exception de x=0, nous calculons les dérivées des nombres dérivables en 0. En utilisant des astuces mathématiques, nous obtenons les expressions des dérivées à gauche et à droite de x=0.
En calculant les dérivées en x=0, nous obtenons des valeurs différentes pour chaque côté, confirmant ainsi que la fonction n'est pas dérivable en x=0.
En conclusion, la fonction donnée est continue sur R et dérivable sur R à l'exception de x=0.
