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Dérivation : Nombre dérivé et tangentes

La vidéo explique ce qu'est être dérivable en un point. Pour être dérivable, le taux d'accroissement de la fonction en ce point doit avoir une limite finie et unique. La vidéo montre des exemples où une fonction ne respecte pas cette définition : par exemple, la fonction 1/x n'est pas définie en 0, donc pas dérivable, mais la racine de x est définie en 0 et pourtant n'est pas dérivable car elle admet une demie-tangente verticale et a une limite infinie. La valeur absolue de x est dérivable partout sauf en 0 où elle admet deux demie-tangentes de pentes opposées, ce qui ne respecte pas l'exigence d'une limite unique. Ces exemples montrent bien que la définition de la dérivabilité est importante pour comprendre et utiliser les fonctions en mathématiques.

Petite vidéo pour cadrer un petit peu la définition de ce que ça veut dire être dérivable en un point. Je me souviens être en première et ne pas vraiment avoir compris. C'est à dire que si vous me demandiez, j'avais compris les exos, les formules et tout, mais si vous me demandiez c'est quoi être dérivable en un point, je leur aurais répondu un espèce de flou, un espèce de gloobie-boulga de je sais pas trop, ouais c'est quand il y a une tangente, il y a une limite d'un truc, et puis bon voilà, puis je fais la fonction, la dérivée et ça fonctionne. Et là je voulais vous montrer, en gros, rappeler la définition formelle de ce que c'est être dérivable, et vous montrer des exemples où des fonctions ne sont pas dérivables, qu'il faut connaître parce que c'est tout ce qu'on rencontre au lycée en général, pour bien établir cette définition. Donc par exemple, un premier exemple de non-dérivabilité, je commence avec ça là-haut, c'est un exemple très basique, la fonction par exemple 1 sur x. 1 sur x n'existe pas en 0, il n'y a pas de 1 sur 0. Donc ça c'est un exemple que j'appelle trivial de non-dérivabilité, parce que la fonction n'existe pas, n'étant pas définie, elle ne peut pas être dérivable. C'est un cas trivial, c'est pas ça qui va m'intéresser aujourd'hui, je vais plutôt vous montrer des cas où la fonction existe en un point, mais n'est pas dérivable, en tout cas ne se conforme pas à la notion qu'on a définie nous en tant qu'être humain de dérivabilité. Donc je rappelle, être dérivable en un point c'est quoi? On est dérivable en un point A du domaine de définition de f, df, si et seulement si le taux d'accroissement de f en A, donc au point A, admet une limite qui est finie et unique. Bon, on va dire finie, oui, ok, unique, qu'est-ce que ça veut dire? Voyons des exemples. Pour trouver des exemples de non-dérivabilité justement, qui me font comprendre mieux cette définition de ce que c'est être dérivable, voyons un exemple où le taux d'accroissement d'une fonction en un certain point ne va pas être fini, et pourtant la fonction existe. Un exemple, ça va être la fonction racine de x. Quand vous prenez la fonction racine de x, vous approchez de 0, vous voyez qu'elle est comme ça, elle décroît de plus en plus, et en fait elle décroît vers 0 avec une pente de plus en plus élevée et arrive en 0 avec une pente verticale. Donc en 0, racine de x est définie, racine de 0 ça fait 0, ça vous le savez. Mais en 0, ce qui se passe, c'est qu'elle admet une demi-tangente, on appelle ça verticale. Je ne sais plus trop au programme ce genre de terme, mais c'est important de le connaître. C'est une demi-tangente verticale, et on pourrait dire de pente plus infinie, parce que si vous voulez, une pente 1 c'est ça, une pente 10 c'est ça, une pente 10 000 c'est ça, une pente 3 millions c'est ça, une pente infinie ça serait une droite verticale. Donc en fait, je vois ce qui se passe sur la courbe, ce n'est pas un mystère. Quand je dis que ce n'est pas dérivable, ce n'est pas quelque chose qui est intangible et qu'on ne s'est pas dessiné. Je vois exactement ce qui se passe, mais ça ne rentre pas dans la définition de ce qu'on a dit être dérivable. Pourquoi? Parce qu'on peut vérifier le calcul du taux d'accroissement au niveau du point 0. Quand je fais le taux d'accroissement, je trouve racine de 0 plus h, racine de h, moins racine de 0, le tout divisé par h. J'ai ça, racine de h, moins racine de 0 sur h. Ça, ça me donne racine de h sur h, quand je simplifie, ça fait 1 divisé par racine de h, et ça, quand h tend vers 0, ça devient 1 sur quelque chose de très très très petit. Ça, c'est quelque chose de très très grand. Et donc j'ai une limite qui est plus infinie, une limite non finie. Ça, même si je peux le comprendre, je le vois et je le dessine, c'est très bien, donc on appelle ça demi-tangente verticale, limite plus infinie du taux d'accroissement, ça n'est donc pas dérivable, ça ne rentre pas dans la définition où on avait exigé une limite finie unique. Là, elle n'est pas finie, ce n'est pas dérivable. Unique. Un cas de non-dérivabilité où la limite n'est pas unique. Prenons la valeur absolue de x. La valeur absolue de x, vous savez qu'elle est tracée comme ça avec un espèce de coin au niveau 0, parce que la fonction vaut x pour les nombres positifs et moins x pour les nombres négatifs, parce que la fonction doit être toujours positive. Donc elle admet des demi-tangentes en 0. En 0, je vois des espèces de demi-tangentes un peu comme on avait tout à l'heure, une demi-tangente verticale, j'appelais ça demi-tangente tout à l'heure, parce que je ne peux pas la tracer de l'autre côté, parce qu'il n'y a pas de fonction qui repart de l'autre côté, donc c'était que d'un côté, donc moitié de tangente. Ici, elle a une moitié de tangente qui part dans une direction, et une moitié de tangente en 0 de l'autre côté, qui part dans l'autre direction. Donc en fait, j'ai une limite qui n'est pas unique. Selon comment j'approche le point 0, si je l'approche par les nombres positifs ou par les nombres négatifs, j'ai deux demi-tangentes différentes. Donc je peux calculer le taux d'accroissement en 0+, 0+, c'est le côté positif, j'obtiens x-0 sur x-0, x en valeur absolue côté positif, ça fait x, donc j'obtiens une pente de 1, ça je le vois, et en 0-x en valeur absolue vaut moins x, donc j'obtiens une pente de moins 1, ce que je vois ici. J'ai donc deux limites différentes pour le taux d'accroissement. Ce n'est pas une limite unique, donc ça ne rentre pas dans le cadre de la dérivabilité. Ce n'est pas une fonction qui est dérivable en 0, elle est dérivable ailleurs, si vous voulez, à ces points-là par exemple, mais en 0, elle n'est pas dérivable. Parce qu'on a décidé que dérivable, ça voulait dire limite finie unique. Donc ça veut dire que ce sont des cas qui peuvent se comprendre, se visualiser, mais qui ne rentrent pas dans la définition. J'espère que ça a un peu clarifié ce que c'est être dérivable, et je vous dis à la prochaine pour une prochaine méthode.

Rappel : être dérivable en un point

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