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Dérivation : Nombre dérivé et tangentes

La démonstration consiste à trouver deux points distincts sur une courbe de fonction qui ont une pente de -1. Pour cela, il suffit de calculer la dérivée de la fonction f' et ensuite de trouver les racines de l'équation f' (x) = -1. Avec ces deux points, on peut alors trouver les coordonnées et tracer la courbe pour vérifier graphiquement. Ainsi, la démonstration est une application des méthodes de dérivation et de calcul des racines pour trouver des propriétés géométriques de la courbe.

Un exercice classique qu'il faut savoir bien faire sur la dérivation. Il peut tomber sous différentes formes, mais je vais vous montrer dans cet exemple là. Vous avez une fonction et vous avez sa courbe. On vous dit montrez qu'il admet que la courbe admet deux tangentes de coefficient directeur en moins 1 en deux points distincts. Tout ce qu'il y a à faire, coefficient directeur de la tangente, c'est calculer f' pour la fonction. On a f' car polynôme. Vous savez dans le cours que tout polynôme est dérivable sur R car polynôme de degré 3. Il est de degré 3, on peut le dériver, on obtient quelque soit x réel. Donc ça c'est quelque soit. Si votre prof ne utilise pas ces écritures encore, vous pouvez écrire pour tout x en français, ça marche très bien. On a f' de x égale 3x², donc je dérive x3 c'est 3x², moins 2 fois la dérivée de x2 qui est 2x, donc moins 2 fois 2x, 4x, plus 1 qui devient 0. Parfait. On vous demande de vérifier, de trouver les points pour lesquels ce coefficient directeur de tangente au point x vaut moins 1. F' de x égale moins 1, si et seulement si. 3x² moins 4x égale moins 1, si et seulement si. Pour faire un bon polynôme du second degré, comme on va souvent se référer à ce chapitre assez classique dans tous les exercices de fonction. 3x² moins 4x plus 1 égale 0. Là tout de suite je ne sors pas le delta avant d'avoir vérifié que je ne trouverai pas par hasard une racine évidente. Or j'en vois une là qui saute aux yeux, si je mets x égale 1 là dedans, ça fait 3 fois 1 moins 4 fois 1 moins 1 plus 1 égale 0. Je sais donc que 1 va être racine, et donc l'autre racine par le cours, j'ai que l'autre racine est égale à c sur a. Elle est égale au coefficient ici divisé par le coefficient ici. Rappelez-vous dans le cours, le produit des racines, quand il existe deux racines pour un polynôme, le produit des racines vaut le coefficient constant divisé par le coefficient devant le x². Donc je trouve racine évidente x, si x n'est pas ici, si x égale 1 ou x égale l'autre racine qui est donc 1 tiers. Voici les deux abscisses des points pour lesquels j'ai une tangente de coefficient moins 1. On me demande de trouver les coordonnées, j'ai un point qui est de coordonnées 1, f1, l'autre qui est de coordonnées 1 tiers, f2, 1 tiers. Tout ce que vous avez à faire c'est calculer f1, bon ben f1 c'est 1-2 plus 1, parfait, ça fait 0. Donc c'est au point de coordonnées 1 et 0 que j'ai une tangente qui vaut un coefficient moins 1. Et ensuite f1 tiers, alors là il faut le calculer, attendez une seconde, je vous le fais. On trouve 22 27e, vous pouvez le calculer vous-même, vous voyez là je l'ai calculé en scred dans la marge en mettant l'enregistrement en pause. Donc vous trouvez 22 sur 27 et j'ai envie de vous montrer à quoi va ressembler cette fonction pour vérifier un peu ce que ça veut dire. Qu'est-ce que ça veut dire quand on illustre d'avoir, alors attendez ça c'est mal cadré, qu'est-ce que ça veut dire, voilà là c'est très bien, d'avoir d'avoir deux tangentes en deux points distincts qui valent moins 1. Donc vous pouvez regarder ici j'ai tracé la courbe x3-2x2 plus 1 en rouge et j'ai une petite fonction qui me permet de tracer les tangentes. Au point d'axis 1, 0, il est vrai que j'ai l'air d'avoir une tangente de pente moins 1, c'est parfait. Ici je remonte ensuite, je remonte un petit peu encore et je vais voir quand est-ce que, alors je suis monté un peu trop haut, quand est-ce que j'ai re une pente moins 1, donc là j'ai une pente moins 1, et apparemment au niveau de 1 tiers, en 0,3 ici à peu près, j'ai aussi une pente qui a l'air de valoir moins 1. Donc c'était une illustration de cette fin de méthode, c'est ça que ça veut dire, c'est ça qu'on a démontré, ça a l'air d'être vrai, de voir qu'il y a un point à peu près vers 1 tiers et vers 1 d'axis qui ont chacun la même pente de valeur moins 1. Voilà, sur ce, laissez-moi un commentaire, une question s'il y a besoin, et je vous retrouve dans une prochaine vidéo.

Trouver des tangentes parallèles

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