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Dérivation : Nombre dérivé et tangentes

Le cours porte sur les courbes avec un paramètre et les exercices de dérivation. Des fonctions sont présentées en fonction du paramètre m, qui peut varier. Dans le premier exercice, l'objectif est de trouver deux points d'abscisse pour lesquels les tangentes sont parallèles à l'axe des abscisses. En calculant la dérivée de la fonction g, on peut trouver ces deux points. Dans le deuxième exercice, le but est de déterminer pour quelle valeur de m il y a une seule solution pour la tangente parallèle à l'axe des abscisses. En calculant le delta de la fonction g, on peut trouver cette valeur. La réponse est m=4/3 et la solution unique pour la tangente parallèle à x-axis est x=1.5.

Encore un classique des exercices sur la dérivation, cette fois-ci une courbe avec un paramètre. Un paramètre c'est quelque chose qui peut varier, on prend un m ici. Potentiellement on vous représente toute une famille de fonctions. Le m, là, si il est au 2, c'est la fonction 2x3, etc. Si il est au 3, c'est 3x3-2x2-x-5. Au début on vous dit, on suppose que m est égal à 1, donc ça ce n'est pas trop compliqué. Montrez que CG admet deux tangentes parallèles à l'axe des abscisses. Ça veut dire qu'on souhaite, on veut si vous voulez, on veut trouver des points, des x, tels que g'2x égale 0. Parce que quand g'2x est égal à 0, la tangente a une pente nulle, on est donc parallèle à l'axe des abscisses. Calculons. Calculons quelque soit x appartenant à R, on peut dire g dérivable, par ailleurs, car polynome. Je vous laisse rédiger, là j'ai pas envie de passer une heure là-dessus, mais il faut le rédiger. C'est important. Votre prof vous expliquera comment lui veut que vous le rédigez, donc vous le faites proprement. Calculons quelque soit x appartenant à R, g'2x égale 3x2 fois m, m va être égal à 1, donc moins 2 fois 2x, 4x, plus x-5 c'est 1. m ici vaut 1 dans cette question, donc je peux le virer. 3x2 moins 4x plus 1, on a déjà fait un exercice il n'y a pas longtemps, exactement avec cette même fonction, quand m est égal à 1, si vous avez déjà regardé les vidéos précédentes. Donc ça je reconnais tout de suite, c'est assez intéressant, une racine évidente. La racine évidente c'est 1, si je fais 3 fois 1 moins 4 fois 1 moins 1, plus 1 égale 0, donc je mets tout de suite x moins 1 en facteur, le 3 en facteur. Et donc je mets ensuite, connaissant bien mon cours sur les polynomes, je fais 3 fois x moins la première racine, fois x moins la deuxième racine. Et à quoi est égale la deuxième racine? Je me souviens que dans mon cours on m'a dit que quand j'ai trouvé une racine évidente, ce qui est cool c'est que je sais que ce nombre ici, le c si vous voulez, si j'ai le c et le a comme ça, je sais que le produit de mes racines vaut c divisé par a. Le produit des deux racines vaut donc 1 sur 3, or la première racine vaut 1, donc nécessairement si le produit des deux fait 1 tiers, la deuxième doit valoir 1 tiers. Donc je peux écrire x moins 1 tiers. J'ai bien trouvé deux points d'abscisse, 1 et 1 tiers ici, dont les tangentes sont parallèles à celles des abscisses. Très bien, passons à l'exercice 2. Pour quelle valeur de m la courbe cg n'a-t-elle une unique tangente parallèle à celle des abscisses? On va calculer dans le cas général. On va repartir cette fois-ci avec un m quelconque, et je vais pouvoir écrire g' quel que soit x, g' de x égale, et c'est la même chose que tout à l'heure sauf qu'il y a un m qui traîne. C'est 3m x² si vous voulez, il n'y a pas de différence, moins 4x plus 1. Et moi ce que je veux maintenant c'est qu'il y ait une seule solution. Je veux g' de x égale 0 avec une seule solution. Une seule solution, je connais dans mon cours du degré 2, je sais que ça arrive quand j'ai une racine double. Donc là par contre je dois calculer, il n'y a pas de racine évidente ni rien, je dois absolument calculer mon delta. Donc je calcule le delta de cette fonction du degré 2. C'est donc moins 4 au carré, moins 4 fois 3m fois 1 égale 16. D'ailleurs non, 16 je pourrais mettre 4 en facteur, mais si on va l'écrire, 16 moins 4 fois 3m égale 4 fois 4 moins 3m. Et je vais pouvoir redire, en fait moi je veux une solution double, et j'aurai donc delta égale 0 si et seulement si, 4 moins 3m égale 0, si et seulement si, m égale, bon ça fait 4 divisé par 3, 4 tiers. Je me rends compte que là j'ai calculé le delta en général, Oups, alors c'est pas du tout ce que je vais faire ce remplissage, Voilà, j'ai calculé delta en général, sans mettre m égale 1 ni rien, je laisse m comme il est, comme il le souhaite. Et je dis, le delta en général vaut ça, il y a une valeur de m très particulière pour laquelle ce delta vaut exactement 0. C'est très bien, voici la valeur pour laquelle il y a une unique solution à g' de x égale 0. Et en l'occurrence c'est quoi, on pourrait l'écrire, c'est quand g' de x est égale à 4 tiers fois 3, je remplace ici par 4, c'est à dire 4x² moins 4x plus 1. Ça en fait si on est un peu attentif c'est 2x moins 1, le tout au carré. Il se trouve que quand m vaut exactement 4 tiers, la dérivée de g c'est 2x moins 1 au carré, qui en effet n'a qu'une seule solution. Un seul point pour lequel la tangente est parallèle à x-axis c'est le point x égale 1.5. Voilà comment faire cet exercice, c'est pas trop compliqué, il faut juste l'avoir vu au moins une fois et pas paniquer quand on voit un m ou un truc comme ça. Je vous dis à la prochaine, j'espère que c'était bien clair, posez moi des questions sinon. Retenez bien, encore une fois là c'est un exercice classique, c'est bien de le connaître parce que ça peut tomber souvent. Je vous dis au revoir.

Classique - Fonction à paramètre

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