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Des courbes tangentes
Ce cours présente un exercice qui introduit la notion de tangence entre deux courbes. Les deux courbes données sont une fonction f, qui est une hyperbole décrite par l'équation 5x + 4 / 4x, et une fonction g, qui est une parabole décrite par l'équation x^2 + x + 1/4.
D'abord, on sépare la fraction de f en deux parties, simplifiant ainsi 5x / 4x à 5/4 et 4 / 4x à 1 / x. Cela rend l'expression de f beaucoup plus simple.
Ensuite, on observe que l'expression de g peut être factorisée sous la forme (x + 1)^2. Cette observation n'est pas nécessaire mais peut être utile pour développer une intuition rapide.
On montre graphiquement que les deux courbes se touchent en un point unique, situé à l'abscisse (-1, 0.25).
Ensuite, on effectue des calculs pour montrer que g(2x) - f(2x) = x^3 + x^2 - x - 1. On utilise deux méthodes: la factorisation en utilisant les identités remarquables, et l'utilisation de la réponse donnée à l'exercice pour développer l'expression.
En utilisant ces calculs, on déduit que les points d'intersection des courbes sont x = 1 et x = -1.
On détermine également la position relative des courbes cf et cg en utilisant un tableau de signe. On conclut que cg est au-dessus de cf lorsque x < 0 et lorsque x < 1.
Enfin, on montre que les courbes admettent la même tangente au point (-1, 0.25), en calculant les dérivées f'(-1) = -1 et g'(-1) = -1.
En conclusion, cet exercice présente une situation intéressante où deux courbes se touchent en un point unique et admettent la même tangente à ce point.
