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Dérivation : Nombre dérivé et tangentes

La vidéo explique comment représenter une fonction définie par morceaux et comment déterminer si elle est dérivable en un point spécifique. On utilise l'exemple d'une fonction constituée d'une parabole jusqu'à 1 et une fonction affine de 1 jusqu'à l'infini. Cette fonction est représentée graphiquement et il est démontré qu'elle est dérivable dans les deux parties de la fonction, mais pas en 1. Le calcul des taux d'accroissement de chaque côté de 1 montre que les limites ne sont pas égales, ce qui signifie que la fonction n'est pas dérivable.

Un exercice complexe et très intéressant qui va permettre d'enfoncer un peu le clou sur la notion de être dérivable en un point. Donc typiquement on vous file une fonction définie en deux bouts. On appelle ça une fonction définie par morceaux. On vous dit soit f définie pour x plus petit que 1 ou jusqu'à 1 si vous voulez en partant de moins l'infini qui vaut moins x² plus 1 donc une parabole qui fait la tête vers le bas. Et ensuite à partir de 1 f de x vaut 2x moins 2. Représentez la courbe f. Alors ça je vais vous le montrer moi sur une calculatrice graphique, ça va être plus facile. Voici jusqu'à 1 la fonction moins x² plus 1. Bon, je vais y coller cette fonction qu'on connaît bien, je vais y coller à partir de 1 jusqu'à plus infini la fonction 2x moins 2. Quand je fais ça, pouf, ça me donne ce machin là. Donc j'ai un espèce de point comme ça où je viens m'écraser et rebondir comme si j'avais jeté un ballon et qu'il repartait je sais pas comment. Voilà la représentation de ma fonction, je sens qu'en termes de dérivabilité et de tangente unique, au niveau du point 1 ça va un peu partir en sucette. Mais ça va être le cœur de l'exercice. Voilà la représentation graphique, on est content, ça ressemble à quelque chose, voyons un peu ce que ça donne. Pour le calcul, représenter la courbe c'est fait. Justifier que la fonction f est dérivable sur moins l'infini 1 et sur 1 plus l'infini. Tout ça avec 1 exclu ici, 1 inclus ici. Simple, 1 c'est fait. Petit 2, sur moins l'infini moins 1, f polynome du second degré, donc dérivable. Que ce soit du n'importe quel degré, un polynome est toujours dérivable. Donc c'est bon. Sur 1 plus l'infini, je vais pas me prendre la tête, de même. C'est défini comme un polynome du premier degré, c'est dérivable. Alors, il y a une erreur. C'est sur 1 plus l'infini, justement, ouvert. Parce que le point 1 va, on l'a vu graphiquement déjà, être problématique. Mais par contre, en dehors de ce point, c'est vrai qu'on a juste des bras de fonction très connus, affine et parabole, donc tout ça des polynomes qui sont dérivables. On va regarder ce qui se passe de plus près en 1. Si vous avez vu ma petite vidéo sur la non-dérivabilité en 1 point, on a un exemple ici. De limites finies des tangentes, ça c'est vrai, c'est des limites qu'on peut voir, les tangentes à peu près, mais non uniques. De chaque côté de la fonction du point 1, j'ai des tangentes, des demi-tangentes, qui partent avec des directions différentes, et c'est ça la source de la non-dérivabilité. On va le vérifier tout de suite avec petit 3, le calcul des taux d'accroissement de chaque côté, en arrivant par le côté parabolique et en arrivant par le côté droite affine. F1 égale, ça il faut regarder dans la définition où est 1. 1 est interdit ici, mais on peut y autoriser là, donc ça fait 2 fois 1 moins 2, égal 0. En fait, on voit qu'on l'aurait calculé là, ça aurait marché aussi. On voit bien que les deux branches, sur le graphique, on a bien vu que les deux branches se rejoignaient à ce point, et donc la fonction est continue, si vous voulez. Continue c'est un truc de terminale, mais ça veut dire qu'on peut la tracer sans lever le stylo. Ça ne veut pas dire qu'elle est dérivable, on voit qu'il y a un petit rebond bizarre, mais je peux quand même continuer le tracer. J'obtiens F1 égale 0, b pour h, petit et positif, donc je le mets du côté de la droite, F1 plus h égale, 1 plus h étant strictement positif, c'est 2 fois 1 plus h, moins 2, égale 2 plus h, 2 plus h moins 2, 2h. Car, je dis ça parce que 1 plus h est plus grand strict que 1, donc on utilise la fonction côté 2x moins 2. Donc, la limite du taux d'accroissement est donc le taux d'accroissement égale, donc la limite je peux écrire qu'en h tendu à 0, de F1 plus h moins F1 sur h, ça c'est facile puisque F1 c'est 0, comme on a vu, F1 plus h, j'ai calculé, ça fait 2h, c'est la limite. Quand h tend vers 0, 2h sur h, 2h sur h ça vaut 2, tout simplement, je peux simplifier comme ça, ça fait la limite de 2. Je fais la même chose de l'autre côté, je calcule F1 plus h quand h est légèrement négatif, donc quand on a 1 plus h qui est légèrement en dessous de 1, dans ce cas je n'ai pas vraiment le choix, je vais écrire que c'est moins 1 plus h le taux au carré plus 1, et ça c'est égal à quoi? C'est moins h carré moins 2h, moins 1 plus 1. Et donc, si j'écris la même chose ici, limite de tout ce taux ici, dans ce cas là, avec cette fois-ci 1 plus h plus le petit strict que 1, je vais l'ajouter ici, quand j'ai ça, assez important, ici plus grand que 1, ici plus petit strict que 1, donc là je obtiens quoi? moins h carré moins 2h, moins F1 qui vaut 0, le tout divisé par h. Limite quand h tend vers 0 de moins h carré moins 2h, le tout divisé par h, égale la limite quand h tend vers 0, je simplifie la fraction de moins h moins 2, ça, ça fait moins 2. Donc d'un côté j'ai une limite 2, de l'autre côté j'ai une limite moins 2, les limites ne sont pas égales de chaque côté, je n'ai pas une limite unique du taux d'accroissement quand h tend vers 0, la fonction n'est pas dérivable. C'était un exemple comme ça à partir d'une fonction, petite D, la fonction n'est pas dérivable, à partir d'une fonction, construite en deux branches, F non dérivable en 1. J'espère que ça a été clair, n'hésitez pas à poser des questions si vous avez des problèmes ou des doutes, et sinon je vous retrouve dans une prochaine vidéo. Bye bye.

Fonction définie par morceaux

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