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Sin, Cos et Cercle Trigo

La vidéo explique comment résoudre des équations trigonométriques simples en utilisant le cercle trigonométrique et le tableau des valeurs de sine et cosine. La première étape consiste à identifier la valeur classique à laquelle on peut se rapporter dans le problème. La deuxième étape consiste à tracer le cercle trigonométrique pour trouver les points où l'équation est vérifiée. Il est important de comprendre la contrainte de l'intervalle et de trouver les angles solutions dans cette plage. La vidéo illustre cet exemple pour résoudre 2cos(x) = 1 dans l'intervalle [0, 2π] avec les solutions x=π/3 et x=5π/3 et pour résoudre 2sin(x) = -1 avec les solutions x=7π/6 et x=11π/6 dans cet intervalle.

Alors dans cet exercice on va résoudre des équations très simples, très gnométriques. L'astuce, c'est pour ça que je vous en ai mis le tableau ici, c'est de bien connaître son tableau de valeurs de sine et cose, parce qu'on va toujours s'y rapporter au maximum. Donc il y aura toujours deux étapes, repérer à quelle valeur on peut se rapporter dans les valeurs connues, puis ensuite lire sur le cercle l'ensemble des solutions possibles. On vous dit souvent dans les questions sur quel intervalle résoudre, des fois on vous dira sur R, donc il faudra préciser sur tous les intervalles possibles, en général on vous donne un intervalle de taille de pi. Pour faire attention à ça, c'est la deuxième étape. Donc étape 1, se rendre compte de quelle est la valeur parmi les plus classiques qu'on va sûrement reconnaître dans ce problème. Si je réécris l'équation, je peux réécrire cos x égale 1 de mu. Ça, ça me rappelle tout de suite, tableau, 1 de mu pi sur 3. Je pense à pi sur 3. Donc on sait qu'on va être dans le domaine de la famille de pi sur 3. Étape 2, cercle. Cercle trigo. On fait rapidement un cercle trigo. Un petit cercle, deux petits axes orthogonaux. Et on comprend très vite qu'en gros, cos x égale 1 de mu, ici. Ça, c'est 1, ça c'est 1 de mu. Donc il y a deux angles, deux points sur le cercle qui ont l'air de vérifier cos x égale 1 de mu. C'est comme ça qu'on résout. On a bien retrouvé un qui est entre 0 et pi sur 2. Ici, c'est pi sur 3. Puis on a trouvé un qui est son opposé. Qui serait par exemple, moins pi sur 3, si on allait un peu vite. On pourrait dire que les solutions sont moins pi sur 3 et pi sur 3. Ce sont les deux angles qui vérifient cos 2x égale 1 de mu. Or, on vous dit, attention, on veut les deux réponses qui sont entre 0 et 2 pi. Donc on va dire, ok, ça ne sera pas moins pi sur 3, parce que moins pi sur 3 est avant 0, on va partir d'ici et voir quand est-ce qu'on tombe sur les points solution. Hop, pi sur 3, je tombe dessus. Là, j'arrive à pi. Là, j'arrive à 3 pi sur 2. Et là, j'arrive à quasiment 2 pi, mais moins pi sur 3. Donc en fait, là, je suis à 5 pi sur 3, quand je parcours comme ça. Je peux dire que ce n'est non pas la première valeur que j'ai écrite, mais la seconde, 5 pi sur 3, qui va être la bonne. Donc la solution pour une contrainte vraiment entre 0 et 2 pi, c'est pi sur 3, 5 pi sur 3. Quand x vaut pi sur 3 ou 5 pi sur 3, on a bien 2 cos x égale 1. De la même manière, on vous dit de résoudre 2 sin x égale moins 1. Donc on écrit tout de suite étape 1, sin x égale moins 1 demi. On pense à du pi sur 6. Quand j'ai du pi sur 6, ça va peut-être être du 5 pi sur 6, du 7 pi sur 6, du moins pi sur 6, mais en gros, on est dans ce domaine-là apparemment. Donc ça, c'est la petite étape 1. Étape 2, cercle trigonométrique. On fait un petit cercle trigo comme ça. Et on regarde, quand est-ce que sin x vaut moins 1 demi. Sin x va valoir moins 1 demi, ici. Quand on a moins 1, moins 1 demi. Pour quelle valeur de x est-ce qu'on a moins 1 demi comme sinus? Cette valeur qui a l'air d'être, on a dit qu'on était dans le domaine de pi sur 6, qui serait ici. Ici, on comprend que c'est moins pi sur 6, c'est l'opposé. Et ici, ça veut dire qu'on est en face de pi sur 6. C'est-à-dire pi sur 6 plus pi, plus 180 degrés, c'est 7 pi sur 6. Donc, quand je vais entre 0 et 2 pi, quand est-ce que je croise ces points solution? J'en croise un ici, 7 pi sur 6, c'est bon. Après pi, je croise 7 pi sur 6. Et ensuite, je croise ça, juste avant 2 pi. Donc, pi sur 6 avant 2 pi. Ce ne sera pas moins pi sur 6 qui est avant 0. Ce sera le prochain. Ce sera 2 pi moins pi sur 6, c'est-à-dire 11 pi sur 6. Et je comprends donc que la solution, c'est x égale 7 pi sur 6, ou bien x égale 11 pi sur 6. Voilà, j'espère que c'était clair. Vous pouvez poser des questions dans le forum s'il y a des choses qui n'étaient pas très précises. Sinon, je vous retrouve pour une prochaine vidéo. Bye bye!

Equations trigos simples

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