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Sin, Cos et Cercle Trigo

Dans ce cours, on apprend à résoudre une équation trigonométrique qui inclut cos et sin, ainsi que des termes cos² et sin². Pour simplifier l'équation, on utilise l'identité fondamentale de la trigonométrie pour remplacer cos² par 1-sin². Ensuite, on pose un grand X pour résoudre l'équation de degré 2 qui apparaît. Finalement, on revient à la trigonométrie pour trouver les solutions de l'équation d'origine en fonction de X. Les solutions en fonction de X forment un cercle trigo et l'ensemble des solutions réelles est obtenu en trouvant quand le sinus vaut 1.

Un exercice classique qui va se dérouler en plusieurs étapes, on doit résoudre une équation dans laquelle il y a du cos, du sin, potentiellement du cos² et du sin². L'idée c'est que derrière cette équation il y a du polynôme du degré 2. On va essayer de faire ressortir le chapitre sur les polynômes du degré 2 en posant un moment un grand X, en résolvant une équation du degré 2, et ensuite on reviendra à la trigonométrie en dernière étape. Première question, il faut simplifier un peu cette équation parce que là on a un mélange de cos et de sin qui ne va pas nous permettre de faire le changement de variable qui nous simplifiera la vie. Donc pour faire ça, c'est le but de la question 1 ici, tout ce qu'il faut faire, c'est utiliser l'identité fondamentale de la trigonométrie, c'est-à-dire sin²x plus cos²x égale 1 pour tout X. Donc si je remplace cos² par 1-sin², je recopie l'équation en remplaçant cos² par 1-sin², j'obtiens une équation avec uniquement du sinus. Donc ça c'est parfait, je me rends compte en gros, en simplifiant un petit peu, donc là j'ai –sin², ça devient sin²x –2sinx plus 2-1, donc –2sinx plus 2-1 plus 1-0. Question 2, on vous dit on pose sinx, etc. En fait, c'est pas mal, c'est la méthode qu'il faut faire dans les cas généraux, dans les cas plus compliqués, vous n'aurez pas une équation aussi simple que celle-ci, parce que là je vous le dis tout de suite, quand on voit ça, on reconnaît que c'est x-1²-0, ça se factorise. Ce que je veux dire par là, c'est que là on pourrait carrément dire que ça c'est sinx-1²-0, moi je pourrais m'attendre à ce qu'un élève de première reconnaisse cette identité remarquable directement, donc il n'aurait même pas besoin de passer par poser un grand X, dans ce cas précis. Mais avec d'autres coefficients, potentiellement avec, je ne sais pas, 3 ici, ça changerait, il faudrait poser le grand X. Donc là, faisons comme si il n'y avait pas cette manière de faire qui était si simple, posons le grand X, on résout x2-2x±1, donc on pose X-sinx, et là celle-ci est seulement si, X-sinx-1, parce que ça c'est X-sinx-1². Ok, donc petit 3, on a X-sinx-1, or X-sinx, donc les solutions en fonction de X vont, enfin les petits X qu'on va trouver vont être solutions de sinx-1. Nous on veut l'ensemble des solutions réelles, parfait, on connaît notre cercle trigo, c'est assez très simple. Quand est-ce que le sinus vaut 1, uniquement, donc je vous rappelle que le sinus se lie sur l'axe vertical, le cosinus sur l'axe horizontal, ça c'est le cos, ça c'est le sin, uniquement ici. Donc l'ensemble solution c'est π sur 2, l'ensemble des points π sur 2 plus 2Kπ, pour tout cas dans Z. Et voilà, donc un petit changement de variable pour clarifier un peu, et ensuite en deuxième étape, on fait de la trigo. Donc changement de variable, on résout l'équation de X, là encore une fois c'est un degré de 2 très simple, deuxième étape, on résout la trigo. Posez les questions si besoin et je vous retrouve dans la prochaine vidéo.

Equation trigo où poser X=sinx

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