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Sin, Cos et Cercle Trigo

Dans cette leçon de mathématiques, nous avons une équation avec seulement du sinus, donc pas besoin de faire un changement de variable. Nous résolvons l'équation en posant "X = sin(x)" et en trouvant les racines à partir de cela. Ensuite, nous utilisons une astuce pour résoudre l'inéquation qui nous est donnée. Nous rappelons également la méthode X2-XS+P pour trouver les racines d'une équation à deux degrés. Finalement, nous utilisons une méthode trigo pour trouver l'ensemble des solutions.

un peu similaire aux équations où on pose grand x égale sin x par exemple pour faire un changement de variable on peut le faire avec des inéquations également. Donc on va le faire ici on a une équation donc cette fois ci on voit qu'il n'y a que du sinus donc il n'y a pas d'étape préalable de changement de l'équation. Il y aurait un mélange de sine et de cos je pourrais changer le sine carré en 1 moins cos carré par exemple. Ici tout va bien donc je pose petit 1 grand x égale sin x et je remplace dans l'écriture. Donc je peux écrire déjà à partir à moins 1 1 pour bien me rappeler que le grand x si je trouve une valeur où grand x doit être égale à 2 par exemple ce sera pas possible je veux un grand x nécessairement entre moins 1 et 1 vu que ce que j'appelle grand x est un sinus c'est un sinus que j'appelle grand x donc je suis borné là dedans donc résoudre sur R l'équation. En effet si je remplace donc dans cette équation par grand x j'obtiens x2 moins racine de 3 moins 1 sur 2 x moins racine de 3 sur 4 super oui à la 0 là j'ai quand même l'impression que j'ai accès je vais vous le faire en plusieurs fois il y a une méthode il y a la méthode classique qui dit on fait le delta égal et on factorise il y a une autre méthode que je vous rappelle qu'on a vu dans le chapitre sur les polynomes du degré 2 qui vous dit que quand il existe deux racines à un polynome du degré 2 en fait on a cette écriture qui arrive si il y a deux racines x1 et x2 je sais que je vais avoir ça je vais avoir quand j'ai deux racines x1 et x2 je vais avoir cette formule qui si je la développe donne ça et on l'appelle la formule x2 moins sx plus p pourquoi elle est pratique c'est que des fois il n'est pas impossible que je me rende compte en voyant un polynome qu'en fait ce nombre là est le produit de deux racines et que là j'ai exactement la somme de deux racines utilisant ça ici je me rend compte tout de suite alors je reconnais qu'il y a le coup d'oeil j'ai x1 fois x2 et à le moins racine de 3 sur 4 et x1 plus x2 qui est égal à racine de 3 sur 2 plus moins 1,5 racine de 3 sur 2 plus moins 1,5 c'est ça donc là je tente ma chance et j'ai l'impression que ça va fonctionner j'ai un signe moins que je vais placer un peu mieux j'ai quand même l'impression que ça va fonctionner parce que ça et ça ça a l'air d'être mes deux racines et quand je fais leur produit ça fait bien ça donc c'est bon j'ai bien trouvé x1 égale racine de 3 sur 2 x2 égale moins 1,5 il faut absolument que le produit si je dis que ça c'est x1 et ça c'est x2 il faut que leur produit vaille ça c'est le cas racine de 3 sur 2 fois moins 1 sur 2 ça fait ça donc en fait mes questions étaient déjà prêtes pour moi prêtes pour que je reconnaisse les deux racines donc ça c'est top j'ai donc x égale racine de 3 sur 2 ou x égale moins 1,5 alors là ça tombe bien en plus si vous connaissez votre chapitre sur la trigo vous vous dites c'est parfait parce que moins 1,5 racine de 3 sur 2 c'est le truc qu'on connait c'est normal ensuite qu'on puisse résoudre sans problème donc je vais pouvoir dire que j'ai l'inéquation je vais appeler i ici i est vrai si et seulement si c'est une fonction parabolique qui sourit, on veut que ça soit positif, on sait que c'est positif en dehors des racines donc on va pouvoir dire que x est plus petit ou égal à moins 1,5 ou, ça va être positif cette équation si et seulement si, enfin ce polémique de 2 si et seulement si x est plus petit que moins 1,5 ou x est plus grand ou égal à racine de 3 sur 2 petit cercle trigo on fait le cercle trigo, on écrit quand est-ce que le sinus vaut moins 1,5 le sinus vaut moins 1,5 ici à peu près le sinus vaut racine de 3 sur 2 à peu près ici ça serait la valeur racine de 3 sur 2 si je peux mettre ça ici donc ça serait racine de 3 sur 2 ça c'est moins 1,5 et on vous dit, il faut être en dessous de moins 1,5 pour le sinus c'est à dire ici et au dessus de racine de 3 sur 2 alors je ne sais pas sur quel intervalle il faut résoudre c'est sur R en soi on va dire l'ensemble des solutions c'est très simple, c'est quoi? quel est ce point ici? si c'est racine de 3 sur 2 ça je sais que c'est pi sur 3 parce que je connais mes valeurs classiques dans mon tableau de sinus en face la symétrie c'est 2pi sur 3 et ici si c'est moins 1,5 c'est le symétrique de pi sur 6 donc je sais que là c'est moins pi sur 6 et là c'est moins 5pi sur 6 juste après moins pi donc je vais pouvoir dire S égale l'ensemble des X entre pi sur 3 plus 2kpi c'est ça pour tous les cas possibles c'est l'union de tout ça pour tous les cas dans Z c'est un peu une écriture moche pour une valeur de k donnée je vais prendre l'ensemble de ces intervalles là, donc par exemple si k vaut 0 ça fait pi sur 3, 2pi sur 3 mais il y a aussi ceux où k vaut 1 k vaut moins 1, donc je dis qu'il y a une union d'ensemble ici et ensuite je dois dire union, un deuxième ensemble qui est l'union de la même manière de k pour k appartient à Z de moins 5pi sur 6 plus 2kpi jusqu'à moins pi sur 6 plus 2kpi et ça pour tous les cas donc mon ensemble S est assez laid il est assez compliqué à écrire mais j'espère que vous l'avez compris avec le dessin qui est à côté avec le dessin qui est à côté on comprend que c'est l'ensemble de ces zones là pour tous les intervalles possibles qu'on peut construire selon le nombre de 2pi qu'on ajoute voilà la finalité de cet exercice très moche comme écriture à la fin mais normalement ce n'est pas censé vous faire peur j'espère que c'était assez clair, toujours le même délire d'abord on reconnait qu'on peut poser un grand X et donc se débarrasser du sinus pour un certain temps, résoudre une inéquation ou une équation du 2 à 2 puis ensuite faire un peu de trigo et je vous ai remis un peu de cours sur l'astuce du X2 X2 moins SX plus P la vidéo est assez longue alors que pourtant j'essaie d'optimiser les calculs ce n'est pas ce que j'ai voulu expliquer bien sûr vous avez une manière de le faire qui passe par le delta, je pense que c'est un peu la galère mais voilà ça se tente très bien, je vous dis à la prochaine, posez des questions si besoin et bon courage pour les prochaines vidéos! Bye bye!

Inéquation trigo où poser X=sinx

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